1、第四节数系的扩充与复数的引入授课提示：对应学生用书第85页基础梳理1复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a，b都是实数，形如abi的数叫复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位abi为实数b0，abi为虚数b0，abi为纯虚数a0且b0复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复数a(a为实数)的共轭复数是a复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量的模叫作复数zabi的模，记作|z|z|abi|2.复数的几何意义复数z
2、abi(a，bR)复平面内的点Z(a，b) 向量.3复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则运算名称符号表示语言叙述加减法z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i把实部、虚部分别相加减乘法z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i按照多项式乘法进行，并把i2换成1除法i(cdi0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算(2)复数加法的运算律：设z1，z2，z3C，则复数加法满足以下运算律：交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)1复数abi(a，bR)数系表2复数不能比较大小3
3、几个重要运算结论(1)(1i)22i；i；i.(2)baii(abi)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)(4)i4ni4n1i4n2i4n30(nN)四基自测1(基础点：复数的几何意义)设z32i，则在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：C2(基础点：复数的乘除法运算)复数的共轭复数是()A2iB2iC34i D34i答案：C3(易错点：纯虚数)若复数z1为纯虚数，则实数a()A2 B1C1 D2答案：A4(基础点：复数的模)复数z，其中i为虚数单位，则|z|_答案：授课提示：对应学生用书第86页考点一复数的概念挖掘1复数的认识/ 自
4、主练透例1(1)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A3B2C2 D3解析(12i)(ai)a2(12a)i，由题设知a212a，解得a3，故选A.答案A(2)已知i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_解析由(12i)(ai)ai2ai2a2(12a)i，且(12i)(ai)为纯虚数，可得：a20且12a0，所以a2.答案2(3)已知(m21)(m22m)i0，求实数m.解析由题意得，m2.挖掘2复数相等/ 互动探究例2(1)已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充
5、分也不必要条件解析由a，bR，(abi)2a2b22abi2i，得所以或故选A.答案A(2)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_解析由(1i)(1bi)a得1b(1b)ia，根据复数相等的条件可得解得所以2.答案2破题技法1.明确复数的分类以及复数成为实数，虚数或纯虚数的充要条件2(1)找准复数的实部和虚部复数的相关概念都与实部和虚部有关(2)复数问题实数化解决复数概念类问题，常从复数定义出发，把复数问题转化为实数问题处理拓展利用复数相等，就是化“虚”为“实”，即实数化思想转化实部与虚部之间的方程关系若复数z满足2zz(2i)2(i为虚数单位)，则z为()A1i B1
6、2iC12i D12i解析：设zabi2(abi)(abi)(abi)a2b22a2bi34ia1，b2z12i.答案：B考点二复数的运算挖掘1求复数/ 互动探究例1(1)已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A1iB1iC1i D1i解析由已知等式可得z1i，故选D.答案D(2)(2019高考全国卷)若z(1i)2i，则z()A1i B1iC1i D1i解析由z(1i)2i，得zi(1i)1i.故选D.答案D挖掘2共轭复数/互动探究例2(1)设复数z满足zi3i，则复数z的共轭复数为()A12i B12iC32i D32i解析由zi3i得z32i，所以32i，故选C.答案C(2)若复数z满足
7、2z32i，其中i为虚数单位，则z()A12i B12iC12i D12i解析设zabi，a，bR，则abi，2z3abi，又2z32i，所以3abi32i，故可得a1，b2，即z12i.故选B.答案B破题技法共轭复数的运算性质(1)z|2|z|2.(2)|z|1z1.(3)非零复数z，则z为纯虚数z0.(4)，z1zzz.1若z12i，则()A1 B1Ci Di解析：z(12i)(12i)5，i，故选C.答案：C2(2020河北唐山二模)已知复数z满足(1i)z2，则z的共轭复数为()A1i B1iCi Di解析：由(1i)z2，得z1i，1i.故选A.答案：A挖掘3求复数的模/自主练透例3
8、(1)(2019高考全国卷)设z，则|z|()A2 BC. D1解析法一：zi，|z|.法二：|z|.答案C(2)(2020福建龙岩二模)已知复数z满足(12i)z34i，则|z|()A.B5C.D.解析(12i)z34i，|12i|z|34i|，则|z|.故选C.答案C破题技法1.复数的加减法，合并实部，合并虚部乘法运算：类似多项式展开，要把i2换为1.除法运算类似多项式的分母有理化，而复数的除法需要分母实数化对于乘方，注意运用i的乘方规律2对于求复数，可利用方程思想：把z看作未知数，进行等价变形求解或利用实数化拓展|z1z2|z1|z2|；|；|z1z2|z1|z2|.考点三复数的几何意义
9、挖掘复数几何意义的应用/ 互动探究例(1)(2019高考全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21解析由已知条件，可得zxyi.|zi|1，|xyii|1，x2(y1)21.故选C.答案C(2)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3，1) B(1，3)C(1，) D(，3)解析要使复数z对应的点在第四象限，需要满足解得3m1，故选A.答案A(3)复数z满足|zi|zi|2，求|z1i|的最值解析由|zi|zi|2可知：复数z对应的点Z与点A(0，1)，B(0，1)的距离之和为2，而|AB|2，所以复数z对应的点Z在以A，B为端点的线段上而|z1i|z(1i)|表示点Z到点C(1，1)的距离，因而所求问题的几何意义是求定点C到线段AB上的动点Z的距离的最大值与最小值，既|z1i|max|BC|，|z1i|min|AC|1.破题技法1.已知复数对应点的位置求参数范围，可建立不等式求解2已知复数对应的点进行运算时，可建立方程待定系数求解3研究复数模的问题，可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解4若复数zxyi(x，yR)，则|z|r，点Z在以(0，0)为圆心，r为半径的圆上
