1、2022精编复习题（三十九） 利用空间向量求空间角一般难度题全员必做1已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，CACBCC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值解：如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设CACBCC12，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，(0，1,2)， (2,0，2)，cos，.异面直线BD与A1C所成角的余弦值为.2.(2021河南洛阳模拟)已知三棱锥A BCD，AD平面BCD，BDCD，ADBD2，CD2，E，F分别是AC，BC的中点，P为线段BC上
2、一点，且CP2PB.(1)求证：APDE；(2)求直线AC与平面DEF所成角的正弦值解：(1)证明：作PGBD交CD于点G.连接AG.2，GDCD.AD平面BCD，ADDC，在ADG中，tanGAD，DAG30，在RtADC中，AC2AD2CD241216，AC4，又E为AC的中点，DEAE2，又AD2，ADE60，AGDE.AD平面BCD，ADBD，又BDCD，ADCDD，BD平面ADC，PG平面ADC，PGDE.又AGPGG，DE平面AGP，又AP平面AGP，APDE.(2)以D为坐标原点，直线DB、DC、DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D xyz，则D(0,0,0)，
3、A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,2，2)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即令x3，则n(3，3)设直线AC与平面DEF所成角为，则sin |cos，n|，所以AC与平面DEF所成角的正弦值为.3.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E.(1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角D AFE的余弦值解：(1)证明：PD平面ABCD，AD平面ABCD，PDAD.又CDAD，PDCDD，AD平面PCD.又PC平面PCD，ADPC.又AFPC，ADAFA，
4、PC平面ADF，即CF平面ADF.(2)设AB1，则在RtPDC中，CD1，又DPC30，PC2，PD，PCD60.由(1)知CFDF，DFCDsin 60，CFCDcos 60.又FECD，DE.同理EFCD.如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)，E，F，P(，0,0)，C(0,1,0)设m(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，则又，令x4，得m(4,0，)由(1)知平面ADF的一个法向量为(，1,0)，设二面角D AFE的平面角为，可知为锐角，故cos |cosm，|.故二面角D AF E的余弦值为.中档难度题学优生做1.(2021郑州质量预测)如图，三棱柱ABC
5、 A1B1C1中，各棱长均相等D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点(1)证明：EF平面A1CD；(2)若三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值解：(1)证明：在三棱柱ABC A1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED(图略)，在ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DEAC，DEAC.又F为A1C1的中点，可得A1FA1C1，所以A1FDE，A1FDE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EFA1D，又EF平面A1CD，A1D平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)法一：因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CDA
6、B，又AA1CD，AA1ABA，所以CD平面A1ABB1.如图在平面A1ABB1内，过点B作BGA1D，交直线A1D于点G，连接CG，则BG平面A1CD，所以BCG为直线BC与平面A1CD所成的角设三棱柱的棱长为a，可得A1D，由A1ADBGD，可得BG，在RtBCG中，sinBCG.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.法二：设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱，所以OD平面A1B1C1，所以ODOC1，ODOA1.又A1B1C1为等边三角形，所以OC1A1B1.以O为坐标原点， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角
7、坐标系O xyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)所以，.设平面A1CD的法向量为n(x，y，z)，由得令x2，得n(2,1,0)设直线BC与平面A1CD所成的角为，则sin .所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.2如图，正方形ABCD的边长为4，ABAEBFEF，ABEF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD平面AEFB，G是EF的中点，如图.(1)求证：AG平面BCE；(2)求二面角CAEF的余弦值解：(1)证明：连接BG，因为BCAD，AD底面AEFB，所以BC底面AEFB，又AG底面AEFB，所以BCAG，因为AB綊EG，ABAE，所以四边
8、形ABGE为菱形，所以AGBE，又BCBEB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以AG平面BCE.(2)由(1)知四边形ABGE为菱形，AGBE，AEEGBGAB4，设AGBEO，所以OEOB2，OAOG2，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0，2，0)，F(4,2，0)，C(0,2，4)，D(2,0,4)，所以(2,2，4)，(2，2，0)，设平面ACE的法向量为n(x，y，z)，则所以令y1，则x，z，即平面ACE的一个法向量为n(，1，)，易知平面AEF的一个法向量为(0,0,4)，设二面角CAEF的大小为，由图易知，所以cos .较
9、高难度题学霸做1.(2021安徽省百所重点高中模拟)如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P，C为原正方体的顶点，E，F为原正方体侧棱长的中点，正方形ABCD为原正方体的底面，G为棱BC上的动点(1)求证：平面APC平面PECF；(2)设 (01)，当为何值时，平面EFG与平面ABCD所成的角为？解：(1)证明：由已知可知，EBFD，且EBFD，如图，连接BD，则四边形EFDB是平行四边形，EFBD.底面ABCD为正方形，BDAC.AP底面ABCD，BDAP.又ACAPA，BD平面APC，EF平面APC.EF平面PECF，平面APC平面PECF.(2)以D为原点建立如图所示
10、的空间直角坐标系D xyz，则B(2,2,0)，F(0,0,1)，E(2,2,1)，G(2,22，0)，(2,2,0)， (0,2，1)，设m(x，y，z)是平面EFG的法向量，故即令y1，可得m(1，1,2)为平面EFG的一个法向量，而平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)于是cos|cosm，n|，解得，又01，.2(2021山西太原模拟)如图甲，在平面六边形ABFCDE中，四边形ABCD是矩形，且AB4，BC2，AEDE，BFCF，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将ADE，BCF翻折成如图乙的空间几何体ABCDEF.(1)利用下面的结论或结论，证明：E，F，M，N
11、四点共面；结论：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个结论：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个(2)若二面角E ADB和二面角F BC A都是60，求二面角A BEF的余弦值解：(1)证明：如图，连接MN，ME，NF，四边形ABCD是矩形，点M，N分别是AD，BC的中点，AMBN，AMBN，DAB90，四边形ABNM是矩形，ADMN.AEDE，点M是AD的中点，ADME，又MNMEM，AD平面EMN，平面EMN平面ABCD，同理可得平面FMN平面ABCD，由结论可得平面EMN与平面FMN是同一个平面，E，F，M，N四点共面(2)由(1)知平面EMNF平面ABCD，过点E作EOMN，垂足为O，EO平面ABCD.以过点O作垂直于MN的直线为x轴，ON，OE所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.AD2，AEDE，点M是AD的中点，AEDE，EM1，二面角E AD B是60，EMN60，OM，OE.同理，过点F作FOMN，可得ON1，FO.A，B，E，F，则(0,4,0)，.设m(x1，y1，z1)是平面ABE的法向量，则令z12，得m(，0,2)设n(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，则令z22，得n.而cosm，n，易知二面角A BE F是钝角，二面角A BE F的余弦值为.
