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2020秋高中数学 模块综合评价(二)达标练习(含解析)新人教A版选修2-2.doc

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1、模块综合评价(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1(1i)16(1i)16()A256B256iC0 D256解析:(1i)16(1i)16(1i)28(1i)28(2i)8(2i)80.答案:C2已知函数f(x)ln xx,则函数f(x)的单调递减区间是()A(,1) B(0,1)C(,0),(1,)D(1,)解析:f(x)1,x0.令f(x)1.答案:D3设f(x)10xlg x,则f(1)等于()A10 B10ln 10lg eC.ln 10 D11ln 10解析:f(x)10xln 1

2、0,所以f(1)10ln 1010ln 10lg e.答案:B4若函数f(x)满足f(x)exln x3xf(1)1,则f(1)()A B Ce De解析:由已知可得f(x)exln x3f(1),令x1,则f(1)0e3f(1),解得f(1).答案:A5用反证法证明命题:“若a,bN,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为()Aa,b都能被3整除 Ba,b都不能被3整除Ca,b不都能被3整除 Da不能被3整除解析:因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”答案:B6若a0,b0,且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值,则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D

3、9解析:因为f(x)12x22ax2b,又因为在x1处有极值,所以ab6,因为a0,b0,所以ab9,当且仅当ab3时取等号,所以ab的最大值等于9.答案:D7观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,的特点,按此规律,则第100项为()A10 B14 C13 D100解析:设nN*,则数字n共有n个,所以100,即n(n1)200,又因为nN*,所以n13,到第13个13时共有91项,从第92项开始为14,故第100项为14.答案:B8某工厂要建造一个长方体的无盖箱子,其容积为48 m3,高为3 m,如果箱底每平方米的造价为15元,箱侧面每平方米的造价为12元,则箱子的最低总造价为()

4、A900元 B840元C818元 D816元解析:设箱底一边的长度为x m,箱子的总造价为l元,根据题意,得l1512224072(x0),l72.令l0,解得x4或x4(舍去)当0x4时,l4时,l0.故当x4时,l有最小值816.因此,当箱底是边长为4 m的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价为816元故选D.答案:D8某工厂要建造一个长方体的无盖箱子,其容积为48 m3,高为3 m,如果箱底每平方米的造价为15元,箱侧面每平方米的造价为12元,则箱子的最低总造价为()A900元 B840元 C818元 D816元解析:设箱底一边的长度为x m,箱子的总造价为l元,根据题意,得l1512

5、224072(x0),l72.令l0,解得x4或x4(舍去)当0x4时,l4时,l0.故当x4时,l有最小值816.因此,当箱底是边长为4 m的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价为816元答案:D10证明不等式n1(nN*),某学生的证明过程如下:(1)当n1时,11,不等式成立;(2)假设nk(kN*且k1)时,不等式成立,即 k1,则当nk1时, (k1)1.所以当nk1时,不等式成立上述证法()A过程全都正确Bn1时验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析:验证及归纳假设都正确,但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设,而是通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳

6、法的证题要求故应选D.答案:D11.已知函数f(x)满足f(0)0,导函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为()A. B.C2 D.解析:由f(x)的图象知,f(x)2x2,设f(x)x22xc,由f(0)0知,c0,所以f(x)x22x,由x22x0得x0或x2.故所求面积S(x22x)dx.答案:B12已知定义在R上的奇函数f(x),设其导数为f(x),当x(,0时,恒有xf(x)F(2x1)的实数x的取值范围为()A(1,2) B.C. D(2,1)解析:因为f(x)是奇函数,所以不等式xf(x)f(x)等价于xf(x)f(x),即xf(x)f(x)0,

7、即F(x)F(2x1)等价于F(3)F(|2x1|),即3|2x1|,解得1xsin x;定积分0dx.解析:若实数a,b,c满足abc3,则用反证法证明,假设a,b,c都小于1,则abc0,故正确定积分0dx表示以原点为圆心,为半径的圆的面积的四分之一,故正确答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知aR,问复数z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第几象限?复数z对应点的轨迹是什么?解:由a22a4(a1)233.(a22a2)(a1)211.知z的实部为正数,虚部为负数,所以复数z的对应点在第四象限设zxyi

8、(x,yR),则因为a22a(a1)211,所以xa22a43,消去a22a,得yx2(x3),所以复数z对应点的轨迹是一条射线,其方程为yx2(x3)18(本小题满分12分)设函数f(x),a,b(0,)(1)用分析法证明:f f ;(2)设ab4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于.证明:(1)要证明f f ,只需证明,只需证明,即证,即证(ab)20,这显然成立,所以f f .(2)假设af(b),bf(a)都小于或等于,即,所以2ab2,2ba2,两式相加得ab4,这与ab4矛盾,所以af(b),bf(a)中至少有一个大于.19(本小题满分12分)已知函数f(x)ex2(x2

9、3)(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数yf(x)的极值解:(1)函数f(x)ex2(x23),则f(x)ex2(x22x3)ex2(x3)(x1),故f(0)3e2,又f(0)3e2,故曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y3e23e2(x0),即3e2xy3e20.(2)令f(x)0,可得x1或x3,如下表:x(,3)3(3,1)1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x3时,函数取极大值,极大值为f(3),当x1时,函数取极小值,极小值为f(1)2e3.20(本小题满分12分)已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在1,e上的最

10、大值,最小值;(2)求证:在区间1,)上,函数f(x)的图象在函数g(x)x3图象的下方解:(1)由f(x)x2ln x有f(x)x,当x1,e时,f(x)0,所以f(x)maxf(e)e21.f(x)minf(1).(2)设F(x)x2ln xx3,则F(x)x2x2,当x1,)时,F(x)0,且F(1)0故x1,)时F(x)0,所以x2ln x0,证明:当0xa时,f(ax)0.解:(1)f(x)的定义域为(0,),由已知,得f(x)x1a.若a0,则f(x)0,此时f(x)在(0,)上单调递增若a0,则令f(x)0,得xa.当0xa时,f(x)a时,f(x)0.此时f(x)在(0,a)上

11、单调递减,在(a,)上单调递增综上,当a0时,f(x)在(0,)上单调递增;当a0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,)上单调递增(2)令g(x)f(ax)f(ax),则g(x)(ax)2(1a)(ax)aln(ax) (ax)2(1a)(ax)aln(ax)2xaln(ax)aln(ax)所以g(x)2.当0xa时,g(x)0,所以g(x)在(0,a)上是减函数而g(0)0,所以g(x)g(0)0.故当0xa时,f(ax)0,从而f(x)的最小值为f(a),且f(a)0.不妨设0x1x2,则0x1ax2,所以0ax1a.由(2)得f(2ax1)2ax1,于是a.由(1)知,f0.22

12、(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn,且a11,Snn2an(nN*)(1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;(2)用数学归纳法证明你的猜想,并求出an的表达式解:(1)因为anSnSn1(n2)所以Snn2(SnSn1),所以SnSn1(n2)因为a11,所以S1a11.所以S2,S3,S4,猜想Sn(nN*)(2)当n1时,S11成立假设nk(k1,kN*)时,等式成立,即Sk,当nk1时,Sk1(k1)2ak1ak1Skak1,所以ak1,所以Sk1(k1)2ak1.所以nk1时等式也成立,得证所以根据、可知,对于任意nN*,等式均成立由Snn2an,得n2an,所以an.

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