1、模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1(1i)16(1i)16()A256B256iC0 D256解析：(1i)16(1i)16(1i)28(1i)28(2i)8(2i)80.答案：C2已知函数f(x)ln xx，则函数f(x)的单调递减区间是()A(，1) B(0，1)C(，0)，(1，)D(1，)解析：f(x)1，x0.令f(x)1.答案：D3设f(x)10xlg x，则f(1)等于()A10 B10ln 10lg eC.ln 10 D11ln 10解析：f(x)10xln 1
2、0，所以f(1)10ln 1010ln 10lg e.答案：B4若函数f(x)满足f(x)exln x3xf(1)1，则f(1)()A B Ce De解析：由已知可得f(x)exln x3f(1)，令x1，则f(1)0e3f(1)，解得f(1).答案：A5用反证法证明命题：“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()Aa，b都能被3整除 Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除 Da不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”答案：B6若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D
3、9解析：因为f(x)12x22ax2b，又因为在x1处有极值，所以ab6，因为a0，b0，所以ab9，当且仅当ab3时取等号，所以ab的最大值等于9.答案：D7观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点，按此规律，则第100项为()A10 B14 C13 D100解析：设nN*，则数字n共有n个，所以100，即n(n1)200，又因为nN*，所以n13，到第13个13时共有91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()
4、A900元 B840元C818元 D816元解析：设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意，得l1512224072(x0)，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)当0x4时，l4时，l0.故当x4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元故选D.答案：D8某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A900元 B840元 C818元 D816元解析：设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意，得l1512
5、224072(x0)，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)当0x4时，l4时，l0.故当x4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元答案：D10证明不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立；(2)假设nk(kN*且k1)时，不等式成立，即 k1，则当nk1时， (k1)1.所以当nk1时，不等式成立上述证法()A过程全都正确Bn1时验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：验证及归纳假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳
6、法的证题要求故应选D.答案：D11.已知函数f(x)满足f(0)0，导函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为()A. B.C2 D.解析：由f(x)的图象知，f(x)2x2，设f(x)x22xc，由f(0)0知，c0，所以f(x)x22x，由x22x0得x0或x2.故所求面积S(x22x)dx.答案：B12已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导数为f(x)，当x(，0时，恒有xf(x)F(2x1)的实数x的取值范围为()A(1，2) B.C. D(2，1)解析：因为f(x)是奇函数，所以不等式xf(x)f(x)等价于xf(x)f(x)，即xf(x)f(x)0，
7、即F(x)F(2x1)等价于F(3)F(|2x1|)，即3|2x1|，解得1xsin x；定积分0dx.解析：若实数a，b，c满足abc3，则用反证法证明，假设a，b，c都小于1，则abc0，故正确定积分0dx表示以原点为圆心，为半径的圆的面积的四分之一，故正确答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知aR，问复数z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？解：由a22a4(a1)233.(a22a2)(a1)211.知z的实部为正数，虚部为负数，所以复数z的对应点在第四象限设zxyi
8、(x，yR)，则因为a22a(a1)211，所以xa22a43，消去a22a，得yx2(x3)，所以复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为yx2(x3)18(本小题满分12分)设函数f(x)，a，b(0，)(1)用分析法证明：f f ；(2)设ab4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于.证明：(1)要证明f f ，只需证明，只需证明，即证，即证(ab)20，这显然成立，所以f f .(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于，即，所以2ab2，2ba2，两式相加得ab4，这与ab4矛盾，所以af(b)，bf(a)中至少有一个大于.19(本小题满分12分)已知函数f(x)ex2(x2
9、3)(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数yf(x)的极值解：(1)函数f(x)ex2(x23)，则f(x)ex2(x22x3)ex2(x3)(x1)，故f(0)3e2，又f(0)3e2，故曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y3e23e2(x0)，即3e2xy3e20.(2)令f(x)0，可得x1或x3，如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x3时，函数取极大值，极大值为f(3)，当x1时，函数取极小值，极小值为f(1)2e3.20(本小题满分12分)已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在1，e上的最
10、大值，最小值；(2)求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3图象的下方解：(1)由f(x)x2ln x有f(x)x，当x1，e时，f(x)0，所以f(x)maxf(e)e21.f(x)minf(1).(2)设F(x)x2ln xx3，则F(x)x2x2，当x1，)时，F(x)0，且F(1)0故x1，)时F(x)0，所以x2ln x0，证明：当0xa时，f(ax)0.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，由已知，得f(x)x1a.若a0，则f(x)0，此时f(x)在(0，)上单调递增若a0，则令f(x)0，得xa.当0xa时，f(x)a时，f(x)0.此时f(x)在(0，a)上
11、单调递减，在(a，)上单调递增综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增(2)令g(x)f(ax)f(ax)，则g(x)(ax)2(1a)(ax)aln(ax) (ax)2(1a)(ax)aln(ax)2xaln(ax)aln(ax)所以g(x)2.当0xa时，g(x)0，所以g(x)在(0，a)上是减函数而g(0)0，所以g(x)g(0)0.故当0xa时，f(ax)0，从而f(x)的最小值为f(a)，且f(a)0.不妨设0x1x2，则0x1ax2，所以0ax1a.由(2)得f(2ax1)2ax1，于是a.由(1)知，f0.22
12、(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*)(1)试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式解：(1)因为anSnSn1(n2)所以Snn2(SnSn1)，所以SnSn1(n2)因为a11，所以S1a11.所以S2，S3，S4，猜想Sn(nN*)(2)当n1时，S11成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立，即Sk，当nk1时，Sk1(k1)2ak1ak1Skak1，所以ak1，所以Sk1(k1)2ak1.所以nk1时等式也成立，得证所以根据、可知，对于任意nN*，等式均成立由Snn2an，得n2an，所以an.