1、保密 启用前 【考试时间：2007年11月1日下午3:005:00】考生个人成绩查询请登录绵阳教育信息网（http:/www.my-）绵阳市高中2008级第一次诊断性考试数学能力测试时间：120分钟 总分：150分数学（理工类）时间：120分钟 总分：150分一、 选择题：本小题12小题，每小题5分，共60分1 设集合A B C D2已知是虚数单位,则=A1 B C D3下列函数中,反函数是其自身的函数为A B C D4设：， :关于的方程有实数根，则是的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5右图是正态分布的正态曲线，现有：，这三个式子能表示图中阴影部分面
2、积的是A B C D 6用数学归纳法证明等式：，则从到时左边应添加的项为A B C D 7等差数列的前项和为，若，则A54 B45 C36 D278若函数 ，则的值是A不存在 B12 C10 D9如果我们定义一种运算： 已知函数，那么函数的大致图象是10已知等比数列的前项和，则实数的值为A4 B5 C D11把数列依次按第一个括号一个数，按第二个括号两个数，按第三个括号三个数，按第四个括号一个数，循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），则第50个括号内各数之和为A98 B197 C390 D39212已知函数 的导函数为，且，设是
3、方程的两根，则的取值范围为A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上13已知复数与都是纯虚数，则 14我市某电器公司，生产、三种不同型号的电器产品，这三种电器产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，若样本中型产品有24件，则 15函数的值域是 16已知二次函数，当取1，2，3，时，的图象是一系列的抛物线设，2，）的图象与轴的交点为、，为其在轴上截得线段的长度，则 三、解答题：本大题6个小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知集合，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围18（本小题满分12分）已
4、知是等差数列，公差，、且成等比数列，是的前项和（1）求证：、成等比数列；（2）设，请问是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由19（本小题满分12分）某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为，被乙小组攻克的概率为（1）设为攻关期满时获奖的攻关小组数，求的分布列及；（2）设为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数在定义域内单调递减”为事件，求事件的概率20（本小题满分12分）已知函数
5、是定义在上的奇函数（1）求的值；（2）求函数的值域；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围21（本小题满分12分）函数，其中，为自然对数的底数（1）判断函数的单调性；（2）当时，求时函数的最大值22（本小题满分12分）函数是定义在上的偶函数，且，当时，记函数的图象在处的切线为，（1）求在上的解析式；（2）求切线的方程；（3）点列，在上，依次为轴上的点，如图，当，点、，构成以为底边的等腰三角形，若，且数列是等差数列，求的值和数列的通项公式高2008级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1BT=x|x1，ST=2, 1, 0, 1，2C，原式
6、=(i)2007=(i4)501i3=i3D仅有D答案的函数的图象是关于直线y=x对称的4A：m0，q：=1241(m)0，即，选A5C由正态曲线的性质及 ，三个式子中是正确的6Dn=k时，等式左边=1+2+3+k2，n=k+1时，等式左边=1+2+3+k2+(k2+1)+ (k2+2)+(k+1)2，比较上述两个式子，n=k+1时，等式左边是在假设n=k时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2，故选D7A法一：设an的公差为d，则2(a1+7d)= 6+a1+ 10d，整理得a1+4d=6，法二：2a8=a5+a11=6+a11，即a5=6，S9=548B
7、9B由定义的运算法则知，其图象易作，f(x1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位得到10B，a3=S3S2=4t，由an是等比数列知 ，显然t0，解得t=511D将三个括号作为一组，则由50=163+2知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列2n1的第166=96项，第50个括号的第一个数应为数列2n1的第166+2=98项，即为2981=195，第二个数为2991=197，故第50个括号内各数之和为195+197=39212A由题知，f(0)=c，f(1)=3a+2b+c，f(0)f(1)0即为c(3a
8、+2b+c)0 a+b+c=0，c=ab代入式有(ab)(2a+b)0，a0，可得，得由方程f(x)=0的两根为x1，x2，得又，即二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分132i设z=bi(bR，且b0)，则(z2)28i=(bi2)2 8i=(4b2)(4b+8)i是纯虚数解得b=2， z=2i1480152, 2yx12O211作出图象，如图，161令fn(x)=0，即n(n+1)x2(2n+1)x+1=0，即(n+1)x1nx1=0，或由题意，fn(x)的图象与x轴的交点为An、Bn于是可设 |三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：(
9、1)m=3时，E=x|x1|3=x|x2或x4，2分4分EF=x|x2或x4x|6x4=x|6x26分(2)E=x|x1|m，m0时，E=R，EF=R，满足条件8分m0时，E=x|x1m或x1+m，由EF=R，F=x|6x4，解得0m311分综上，实数m的取值范围为m312分18(1)证明：设数列an的公差为d(d0)，则(a1+2d)2=a1(a1+12d)，2分8a1d=4d2，又d0, d=2a1且a104分由此S1=a1，6分， S1，S3，S9成等比数列8分(2)解：， 10分假设存在正整数m满足条件，即使得当nm时，解得n10011分对于正整数m100时，均满足题目条件，故m的最小
10、值为10012分19解：记“甲攻关小组获奖”为事件A，则，记“乙攻关小组获奖”为事件B，则(1)由题意，的所有可能取值为0，1，2，的分布列为：012P4分6分(2)获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为2，1，0的可能取值为0，4当=0时,在定义域内是增函数当=4时,在定义域内是减函数10分12分20解：(1)f(x)是定义在(, +)上的奇函数，即f(x)=f(x)令x=0得， 解得a=23分(2)记y=f(x)，即， ，由知，1y1即f(x)的值域为(1, 1)7分(3)不等式tf(x)2x2即为即：(2x)2(t+1)2x+t20设2x=u，x(0, 1
11、，u(1, 2x(0, 1时tf(x)2x2恒成立，即为u(1, 2时u2(t+1)u+t20恒成立 解得t012分另解：(2)，而2x0，2x+11，即1f(x)1f(x)的值域为(1, 1)7分(3)x0, 1，2x10，原式为令=2x1，则(0, 1，原式变为而在(0, 1时是增函数， 当=1时，g()max=0t012分21解：(1)， 2分a0时，f(x)是R上的增函数a0时，令，则1+2ax20，解得或令，则1+2ax20，解得此时，在和上是增函数，在是减函数综上，当a0时，f(x)是R上的增函数；当a0时，f(x)在(，)和上是增函数，在是减函数6分(2)a0时，将x，f(x)的
12、变化情况列入下表：x+00+f(x)为正且增极大值单调递减极小值为负且增当，即时，此时f(x)在1, 1上是减函数，f(x)在1, 1上最大值应为f(1)=aca当，即时，此时，f(x)在1, 1上最大值应为综上所述，当时f(x)在1, 1上最大值为；当时f(x)在1, 1上最大值为12分22解：(1)f(x)=f(x)，f(1x)=f(1+x)，f(2+x)=f(2x)=f1(1+x)=f1+(1+x)=f(x)f(x)是周期为2的周期函数 当0x1时，22+x1，f(x)=f(2+x)=t(2+x+2)3t(2+x)+2 整理得f(x)=tx3tx，由于， t=44分(2)由题意切点为即，
13、l的斜率为，由直线点斜式方程知l的方程为y=x+1.7分(3)点Bn(bn, n+1)在直线y=x+1上， bn=n，即9分由此有：xn+1+xn+2=2n+2 两式相减得：xn+2xn=2数列xn的所有奇数项、所有偶数项分别构成以2为公差的等差数列11分又x1+x2=2，x1=a，x2=2ax2n1=x1+2(n1)=2(n1)+a1，x2n=x2+2(n1)=2a+2n2=2na当且仅当a1=a即时，xn为等差数列此时数列xn的通项公式为 14分(3)另解一：同前得xn+1+xn=2n，即xn+1=xn+2n记xn+1+p(n+1)+q=(xn+pn+q)， 展开得：xn+1=xn2pn2q-p，比较得解得p=1， 令，则上式为，bn是以1为公比，首项为的等比数列11分，即 xn是等差数列，即此时，14分(3)另解二：同前得xn+1+xn=2n x1=a， x2=21a=2a， x3=22x2=2+a又数列xn是等差数列，2x2=x1+x3，即2(2a)=a+(2+a)，解得11分于是，猜测(nN*)下面用数学归纳法证明：由上面的计算可知当n=1时，结论成立假设当n=k时结论成立，即n=k+1时，由有即n=k+1时，结论也成立综上知对nN*均成立数列xn的通项公式为 14分
