1、专题28 排列组合一知识点及学习目标【学习目标】1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.3.进一步理解排列、组合的概念，了解计数原理的思想，熟练掌握排列、组合计算公式.4.提升综合应用排列组合的知识解决一些简单的应用问题的思维能力和分类讨论的数学思想.二方法规律总结1.计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否是按元素的性质进行，分步是否是按事件发生的过程进行.2.排列与组合的定义相近，它们的区别在于是否与
2、顺序有关.处理排列组合问题的一般思想是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，要注意积累分类与分步的基本技能.3.分清问题与元素顺序有关还是无关，是区分排列组合问题的原则；搞清解决问题的方法需分步还是需分类，是统计排列与组合问题总数的依据.4.排列组合问题的常见解法主要有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题
3、直接处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略.三命题陷阱及方法总结1.涂色方法例1.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种（以数字作答）【答案】72【解析】由题意可知，当选用三种颜色着色，由乘法原理种方法，当选用四种颜色时，由乘法原理则种方法，再据加法原理可得种方法 1有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有( )A. 4320 B. 2880 C. 1440 D. 720【答案】A【解析】试题分析：第一个区域有6种不同的涂色方法，第二
4、个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第六个区域有4种不同的涂色方法，第五个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理，故选：A考点：乘法原理.2将数字1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种A. 432 B. 576 C. 720 D. 864【答案】B【解析】对符合题意的一种填法如图，行交换共有种，列交换共有种，所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有种，故选B. 3如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 ()A.
5、400种 B. 460种C. 480种 D. 496种【答案】C【解析】涂有种涂法， 有种， 有种，因为可与同色，故有种， 由分步乘法计数原理知，不同涂法有种，故选C4我国古代数学名著续古摘奇算法（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（ ）A. 9 B. 8 C. 6 D. 4【答案】B【方法总结】高考已说明加强数学史等知识的考查，所以对于数学史书的数学问题，也会是
6、高考的热点，本题考了计数问题，首先如题设分析，每行每列的所有书的和都是15，然后列举所有3个数的和为15的组合情况，168,159,249，258，267，348，357，456共8种情况，含5的有5个，所以5放中间，含2,4,6,8的都3个，所以放在四个角处，并且456,258分占两条对角线，再用列举法就比较简单了，总之，审题要清楚，并且能抽象为一个什么数学问题 ，当解决问题时，计算准确.5对右图中的A、B、C、D四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，ABCD现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有（） A12种 B18种 C20 D22种【答案】B【解析】
7、若 相同，先染 处，有 种方法，在染 处 种方法，第三步染有 种方法，共有 种,若 不同，先染处，有 种方法，再染 处 种方法，第三步有 种方法，第四步染 种方法，共有 种，根据分类计数原理可得共有 种，故选 .2.特殊元素和位置优先例2某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有（ ）A. 960种 B. 984种 C. 1080种 D. 1440种【答案】A【方法总结】
8、：解答本题的关键是深刻充分理解题意，灵活运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原理两个基本原理。求解依据题设条件将问题分为四类，然后运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原理两个基本原理求出问题的答案，使得问题获解。练习1现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有多少种( )A. 53 B. 67 C. 85 D. 91【答案】B【解析】丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类 第一类，当丙当物理课代表时，丁必须当化学课代表，再根据甲当数学课代表
9、，乙戊可以当英语和语文中的任一课，有种，当甲不当数学课代表，甲只能当英语课代表，乙只能当语文课代表，戊当数学课代表，有种，共计种， 第二类，当丙不当物理课代表时，分四类丙为语文课代表时，乙只能从英语、物理和U学中选择一课，剩下的甲丁戊任意排给剩下的三课，有种，丙为数学课代表时，甲只能从英语、物理和化学课，剩下的乙丁戊任意排给剩下的三课，有种，丙为英语课代表时，继续分类，甲当数学课代表时，其他三位同学任意当有种，当甲不当数学课代表，甲只能从物理和化学课中选一课,乙只能从语文和甲选完后的剰下的一课中选一课，丁和戊做剰下的两课，有,共计种丙为化学课代表时，同的选法一样有种，根据分类计数原理得，不同的
10、选法共有故选.【方法总结】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.24名运动员参加接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（ ）A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 24种【答案】B【解析】由于4名运动员四棒全排共有种，其中甲跑第一棒的种数为；乙跑第
11、四棒的种数为；其中甲排第一棒，同时乙跑第四棒的种数为。则所有不同出场的顺序为。，应选答案B。3将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）A. 72 B. 120 C. 192 D. 240【答案】D4由组成的无重复数字的五位偶数共有（）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】B【解析】分两类：一、若五位数的个位数是，则有种情形；二、若五位数的个位数是，由于不排首位，因此只有有种情形，中间的三个位置有种情形，依据分步计数原理可得种情形。由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为，应选答案B 。3.至少问题例3. 小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡
12、若他至少买一张，则不同的买法共有()A. 7种 B. 8种C. 6种 D. 9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC卡，买3张IC卡而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2327(种)不同的买法练习13个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人（4名大学
13、毕业生不一定都能选聘上），则不同的选聘方法种数为（ ）A. 60 B. 36 C. 24 D. 42【答案】A2为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】A【解析】分派类型为311或221，所以不同分派方法种数为 ,选A.3将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（ ）A. 18 B. 24 C. 36 D. 72【答案】C【解析】先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C 4 2 6(种)方法
14、，再将三组同学分配到三个班级有A 3 3 6(种)分配方法，依据分步计数原理可得不同分配方法有种，应选答案C。4.顺序一定问题例4. 元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有_种不同取法（用数字作答）【答案】1680【解析】 【方法总结】：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.练习1某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A. 72
15、 B. 120 C. 144 D. 168【答案】B2将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第个数为（），若，则不同的排列方法种数为（ ）A. 18 B. 30 C. 36 D. 48【答案】B【解析】分两步：（1）先排 时，有 种； 时，有 种； 时，有 种；共有 种；（2）再排共有 种，故不同的排列方法为 ，故选B.3甲、乙、丙等个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】先排甲、乙、丙，共有种排法，再将剩余人插进去，人排成一排，甲、乙不在丙同侧的排法共有种故选【方法总结】：本题考查的是排列组合问题.解决排列组合问题要遵循两个原
16、则：按照特殊元素(或特殊位置)的性质进行分类；按照事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以特殊元素(或特殊位置)为主体，即先满足特殊元素(或特殊位置)，再考虑其他元素(或位置)4张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位大人，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A. 144 B. 124 C. 72 D. 36【答案】A5.相邻问题例5. 计划在某画廊展出10幅不同的画, 其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画排成一列,要求同一品种挂在一起, 水彩画不在两端,那么不同的排列方式有（ ）种A. A B. AAC
17、. AA D. AA【答案】D【解析】因为同一品种挂在一起,所以4幅油画全排列： ，5幅国画全排列，水彩画不在两端,所以将油画和国画排在水彩画两边.不同的排列方式有.故选D.【方法总结】：本题考查了元素的排列问题，可以选用捆绑法和插空法来求解问题，如(1)中两个元素要排在一起，那么就选用捆绑法，然后将其作为一个整体进行全排列，(2)中三个元素不在一起而且存在前后关系，所以采用插空法，选择后排入即可.练习15人排成一排，要求甲乙两人之间至少有1 人，则不同的排法有（ ）A. 48 B. 72 C. 96 D. 110【答案】B【解析】5人排成一排，要求甲乙两人之间至少有1 人，2.现将除了甲乙以
18、外的三人全排列中，然后甲乙两人从三人的四个空中选两个位置排入.则不同的排法有.故选B.3有位男生， 位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【方法总结】：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.4.字母排成一列，其中和相邻且在的前面，共有排列方法种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】把和看做是一个字母，和其他四
19、个字母作一个排列，共有排法,故选A.6.不相邻问题例6某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ）A. 16 B. 24 C. 8 D. 12【答案】A【解析】根据题意，分3步进行分析：要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种况；将这个整体与英语全排列，有种顺序，排好后，有3个空位；数学课不排第一节，有2个空位可选.在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，则不同排课法的种数是种，故选A.练习1现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三从
20、两两不相邻的排法的种数为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即，选C.甲、乙等人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】B【解析】由题意利用捆绑法求解，甲、乙两人必须相邻的方法数为种选2一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有 （ ）A. 240种 B. 600种 C. 408种 D. 480种【答案】D【解析】若5个连续空位在两端时，坐法共有 ; 若5个连续空位不在两端时，坐法共有 ;所以共有，选D.3有两排座位，前
21、排个座位，后排个座位，现安排人就座，规定前排中间的个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，都在前排左面4个座位6种，都在前排右面4个座位6种，分列在中间3个的左右442=32种，在前排一共6+6+32=44种，甲乙都在后排共有种，甲乙分列在前后两排种，一共有44+110+192=346种.故选D.四高考真题演练1【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12种 B18种 C24种 D36种【答案】D【解析】【考点】 排列
22、与组合；分步乘法计数原理【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。2. 【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有条路，再从F处到G处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条
23、，故选B.考点： 计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的3. 【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D【解析】考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置.
24、4. 【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有，则具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考点：计数原理的应用【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果5. 【2015高考四川
25、，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.6. 【2014辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A144 B120 C72 D24【答案】C【解析】考点：排列组合. 【名
26、师点睛】本题考查简单排列组合应用问题.从近几年高考对这部分内容的考查看，基本是排列与组合相结合，多可以结合图表分析解题途径.本题首先将座位编号，分析任何两人都不相邻的情况，再安排人员就坐，现实背景熟悉，分析形象直观，易于理解.本题是一道基础题，考查排列组合基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.7.【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_中不同的选法（用数字作答）【答案】660【解析】试题分析：由题意可得：总的选择方法为种方法，其中不满足题意的选法有种方法，则满足题意的选法有：种【考点
27、】排列组合的应用【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式8.【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）【答案】【考点定位】排列问题【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题
