1、2020-2021学年四川省自贡市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1设集合Ax|1x3，Bx|0，则AB（）Ax|2x3Bx|2x3Cx|1x4Dx|1x42已知双曲线1的渐近线方程为（）A9x4y0B4x9y0C2x3y0D3x2y03a+b6是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知命题p：xR，x3+10，则p（）AxR，x3+10BxR，x3+10CxR，x3+10DxR，x3+105f（x），则f（f（3）（）A7B8C7+ln2D96曲线y2sinx+cosx在点（，1）处的切线方程为（）Axy10B
2、2xy210C2x+y2+10Dx+y+107函数y（ex+ex）sinx的部分图象大致为（）ABCD8古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且F2AB的周长为16，则椭圆C的方程为（）A+1BCD9数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y21+|x|y就是其中之一（如图）曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为（）A1BCD210若圆C：x2+y22x+4y+30上存在两点关于直线2ax+by+60对称，则过圆C外一点（a，b）向圆C所作
3、的切线长的最小值是（）AB2C3D411函数f（x）ex（13x）+axa，其中a1，若有且只有一个整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（）ABCD12已知抛物线E：y24x的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线E于A、B两点，C、D两点分别为A、B两点在直线l上的射影，而且|AF|3|BF|，M为线段AB的中点则下列命题（）CFD90；CMD等腰直角三角形；直线AB的斜率为；AOB的面积为4（O为坐标原点）其中正确的命题是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知复数1+2i和34i在复平面上对应的向量分别是，则线段AB的中点C对应的复数z 14函数y
4、x33x+c（c0）的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c 15已知双曲线的左顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN120，则C的离心率为 16已知椭圆的一个顶点为B（0，4），直线l交椭圆于M，N两点，如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知抛物线C：x28y的弦AB经过它的焦点F，且|AB|16求直线AB的方程18已知函数f（x）xex（1）求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）在的最值19已知直线l的参数方程是（t为参数，0），以平面直角
5、坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos设直线l和曲线C交于A，B两点（1）求，|AB|的值及曲线C的直角坐标方程；（2）若P（1，1），求|PA|PB|的最大值20在抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，上级主管部门提出了“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习某数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的关系，对某班每个学生一学期的数学测试成绩和线上学习时间进行跟踪调查，得到成绩的频率分布直方图（每个学生取一学期的平均成绩，每个分组包含左端点不含右端点）和22列联表：分数不少于110分分数不足110分合计每周线上学习时间不少于5小时a530每周线上学
6、习时间不足5小时cd合计50（1）根据频率分布直方图，估计该班数学成绩的平均分和中位数；（2）求22列联表中a，c，d的值，并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”？参考公式和数据P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K221已知椭圆C：1（ab0），点A（2，0），（1，）都在C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设B（2，0），M，N是椭圆C上不同于A，B的两点（其中M在x轴上方），若直线BN的斜率等于直线AM的斜率的2倍，求四边形AMBN面积的最大值22已知函数f（x）lnx+a（aR）（1）讨论函数f（x）的单调区间；
7、（2）是否存在整数a使f（x）+10在（1，+）上恒成立，若存在求出整数a的最大值若不存在请说明理由参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1设集合Ax|1x3，Bx|0，则AB（）Ax|2x3Bx|2x3Cx|1x4Dx|1x4解：Ax|1x3，Bx|2x4，ABx|2x3故选：A2已知双曲线1的渐近线方程为（）A9x4y0B4x9y0C2x3y0D3x2y0解：双曲线1的渐近线方程为：3x2y0故选：D3a+b6是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：由a+b6不一定得到，反之，由，能够得到a+b6a+b6是的必要不充分条件故选：B4已知
8、命题p：xR，x3+10，则p（）AxR，x3+10BxR，x3+10CxR，x3+10DxR，x3+10解：由含有量词的命题的否定方法，即先改变量词，然后再否定结论，所以命题p：xR，x3+10，则p：xR，x3+10故选：C5f（x），则f（f（3）（）A7B8C7+ln2D9解：根据题意，f（x），则f（3）log242，ff（3）f（2）238，故选：B6曲线y2sinx+cosx在点（，1）处的切线方程为（）Axy10B2xy210C2x+y2+10Dx+y+10解：由y2sinx+cosx，得y2cosxsinx，y|x2cossin2，曲线y2sinx+cosx在点（，1）处的切
9、线方程为y+12（x），即2x+y2+10故选：C7函数y（ex+ex）sinx的部分图象大致为（）ABCD解：函数f（x）（ex+ex）sinxf（x），图象是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x0且x0，f（x）0，排除A，故选：C8古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且F2AB的周长为16，则椭圆C的方程为（）A+1BCD解：因为焦点F1，F2在y轴上，所以设椭圆的方程为+1（ab0），由题意可得2a2b，所以Sab，所以4ab，所以ab
10、4，因为F2AB的周长为16，所以4a16，解得a4，代入，解得b，所以椭圆的方程为+1，故选：A9数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y21+|x|y就是其中之一（如图）曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为（）A1BCD2解：曲线C：x2+y21+|x|y （如图），曲线C上任意一点（x，y）到原点的距离为，当x0时，代入曲线可得y21，y1，任意一点（x，y）到原点的距离为1当x0时，由x2+y21+xy，可得x2+y21xy，（当xy时取等），x2+y22，任意一点（x，y）到原点的距离为，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点
11、的距离都不超过，故曲线C上任意一点到原点的距离的最大值为，故选：B10若圆C：x2+y22x+4y+30上存在两点关于直线2ax+by+60对称，则过圆C外一点（a，b）向圆C所作的切线长的最小值是（）AB2C3D4解：根据题意，设M（a，b），过点M的切线长为l，圆C：x2+y22x+4y+30化为（x1）2+（y+2）22，圆的圆心坐标为（1，2）半径为，若圆C上存在两点关于直线2ax+by+60对称，所以（1，2）在直线2ax+by+60上，可得2a2b+60，即ab3，则|MC|，则切线长l，当b1时，切线长取得最小值，l4；故选：D11函数f（x）ex（13x）+axa，其中a1，若
12、有且只有一个整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（）ABCD解：设g（x）ex（13x），h（x）ax+a，则g（x）ex（3x2），x（，），g（x）0，g（x）单调递增，x（，+），g（x）0，g（x）单调递减，x时，g（x）取得最大值为3，g（0）1ah（0），g（1）h（1）2e0，直线h（x）ax+a恒过定点（1，0）且斜率为a，g（1）h（1）4e12a0，a，又a1，a的取值范围，1）故选：C12已知抛物线E：y24x的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线E于A、B两点，C、D两点分别为A、B两点在直线l上的射影，而且|AF|3|BF|，M为线段AB的中点则下列命题
13、（）CFD90；CMD等腰直角三角形；直线AB的斜率为；AOB的面积为4（O为坐标原点）其中正确的命题是（）ABCD解：根据题意可得焦点F（1，0），准线方程为x1，由题意可得直线BA的斜率不为0，设直线AB的方程为xmy+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知C（1，y1），D（1，y2），将直线AB与抛物线方程联立得y24my40，所以y1+y24m，y1y24，对于：（2，y1）（2，y2）（2）（2）+y1y2440，所以，即CFD90，故正确；对于：由可得，不可能CMDM，更不会C或D为直角，故B不正确；对于：因为|AF|3|BF|，所以3，即y13y2，y1+y24m
14、，y1y24，所以，解得m2，所以m，所以直线BA的斜率为，故正确；对于：由题意可得|AB|，点O到直线AB的距离d，所以SAOB|AB|d，故错误故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知复数1+2i和34i在复平面上对应的向量分别是，则线段AB的中点C对应的复数z2i解：复数1+2i和34i在复平面上对应的向量分别是，A（1，2），B（3，4），AB中点C坐标为（2，1），对应复数z2i故答案为：2i14函数yx33x+c（c0）的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c2解：求导函数可得y3x233（x+1）（x1），令y0，可得1x1；令y0，可得x1或x1；函数在（，
15、1），（1，+）上单调增，（1，1）上单调减，函数在x1处取得极大值，在x1处取得极小值，函数yx3+3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，极大值等于0或极小值等于0，1+3+c0或13+c0，c2或2故答案为：215已知双曲线的左顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN120，则C的离心率为 2解：双曲线的左顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点当MAN1200，可得A到渐近线bx+ay0的距离为：bsin30可得，整理可得，则C的离心率为2故答案为：216已知椭圆的一个顶点为B（0，4），直线l交
16、椭圆于M，N两点，如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为 6x+5y280解：由椭圆，c2，得F（2，0），设线段MN的中点Q（x0，y0），因为点F为BMN的重心，所以2，所以（2，4）2（x02，y0），所以x03，y02，Q（3，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由中点坐标公式可得x1+x26，y1+y24，又点M，N在椭圆上，所以+1，+1，两式相减得+0，所以kMN（），所以直线l的方程为y2（x3），即6x+5y280，综上，直线l的方程为6x+5y280故答案为：6x+5y280三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、.17已知抛物线C：x28y的弦AB经过它的焦点F，且|AB|16求直线AB的方程解：因为抛物线C：x28y的焦点F（0，2），故设直线AB的方程为ykx+2，联立，可得x28kx160，64k2+640x1+x28k，x1x216，|AB|16，解得k1，直线AB的方程为：yx+2，18已知函数f（x）xex（1）求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）在的最值解：（1）的定义域为，令f（x）0，解得x1；令f（x）0，解得x1，所以f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故f（x）有极大值，无极小值（2）结合（1）可知函数f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，所以，
18、又，所以，所以即函数f（x）的是大值为，是小值为19已知直线l的参数方程是（t为参数，0），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos设直线l和曲线C交于A，B两点（1）求，|AB|的值及曲线C的直角坐标方程；（2）若P（1，1），求|PA|PB|的最大值解：（1）时，直线l的参数方程是，由曲线C的极坐标方程为4cos，即24cos，可得曲线C的直角坐标方程为x2+y24x0，把x1代入，得y23，即y|AB|故|AB|2；曲线C的直角坐标方程为x2+y24x0（2）把（t为参数，0）代入x2+y24x0，整理得：t2+（2sin2cos）t2
19、0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t22cos2sin，t1t22，可得t1，t2异号，|PA|PB|t1+t2|2cos2sin|2sin（）|当时，|PA|PB|取最大值为20在抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，上级主管部门提出了“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习某数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的关系，对某班每个学生一学期的数学测试成绩和线上学习时间进行跟踪调查，得到成绩的频率分布直方图（每个学生取一学期的平均成绩，每个分组包含左端点不含右端点）和22列联表：分数不少于110分分数不足110分合计每周线上学习时间不少于5小时a530每周线上学习时间不足5小时
20、cd合计50（1）根据频率分布直方图，估计该班数学成绩的平均分和中位数；（2）求22列联表中a，c，d的值，并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”？参考公式和数据P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2解：（1）将直方图数据整理得：区间80，90）90，100）100，110）110，120）120，130）130，140）140，150中点值8595105115125135145频率0.040.120.160.200.240.160.08累计频率0.160.320.52平均数为850.04+950.12+1050.16
21、+1150.20+1250.24+1350.16+1450.08117.8；设中位数为m，m110，120），则0.32+（m110）0.020.5，解得m119所以，估计该班数学成绩的平均分为117.8分，中位数为119（2）a30525；a+c50（0.2+0.24+0.16+0.08）34，c9；c+d20，d11列联表为：分数不少于110分分数不足110分合计每周线上学习时间不少于5小时25530每周线上学习时间不足5小时91120合计341650所以故有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”21已知椭圆C：1（ab0），点A（2，0），（1，）都在C上（1）求椭
22、圆C的标准方程；（2）设B（2，0），M，N是椭圆C上不同于A，B的两点（其中M在x轴上方），若直线BN的斜率等于直线AM的斜率的2倍，求四边形AMBN面积的最大值解：（1）A（2，0），（1，）都在C上，解得，椭圆C的标准方程为（2）设直线AM的斜率为k，即直线AM的方程为yk（x+2），联立直线AM与椭圆方程，化简整理可得，（2k2+1）x2+8k2x+8k240，64k44（2k2+1）（8k24）160，设M（x1，y1），由韦达定理可得，即，直线BN的斜率等于直线AM的斜率的2倍，可得直线BN的方程为y2k（x2），联立直线BN与椭圆方程，化简整理可得，（8k2+1）x232k2x+
23、32k240，（32k2）24（8k2+1）（32k24）160，设N（x2，y2），由韦达定理可得，即，由对称性，不妨设k0，则四边形AMBN的面积S2424，令t4k+，则，当且仅当，即k，等号成立，则，故S的最大值为22已知函数f（x）lnx+a（aR）（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）是否存在整数a使f（x）+10在（1，+）上恒成立，若存在求出整数a的最大值若不存在请说明理由解：（1），函数f（x）的定义域为，当a0时，f（x）0，所以f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0，解得xa，当0xa时，f（x）0，f（x）单调递减；当xa时，f（x）0，f（x）单调递增综上所述，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增（2），令，当a2时，结合（1）可知g（x）在（1，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，所以当x1时，g（x）ming（a）lnaa+20，令，所以h（x）在（1，+）上单调递减，又h（3）ln310，h（4）ln422（ln21）0，所以h（3）h（4）0，由零点存在定理可得存在唯一x0（3，4），使得h（x0）0，所以g（a）h（a）02ax0，于是当a3时满足题意，当a4时不满足题意，所以a的最大值为 3
