1、第二讲 参数方程四、渐开线与摆线A级基础巩固一、选择题1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A只有圆才有渐开线B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C正方形也可以有渐开线D对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同答案：C2直径为12的圆的摆线
2、的参数方程是()A.(为参数)B.(为参数)C.(为参数)D.(为参数)解析：因为2r12.所以r6.所以该圆的摆线的参数方程为(为参数)故选A.答案：A3已知一个圆的摆线过点(1，0)，则摆线的参数方程为()A.B.C.D.解析：圆的摆线的参数方程为令r(1cos )0，得2k，代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)，又过(1，0)，所以r(2ksin 2k)1，所以r，又r0，所以kN*.答案：A4圆(为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()AB3C6D10解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为(为参数)，把y0代入，得cos 1，所以2k(kZ)，故x33s
3、in 6k(kZ)答案：C5已知一个圆的参数方程为(为参数)，那么圆的摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为()A.1 B. C. D. 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(为参数)，把代入参数方程中可得即A，所以|AB| .答案：C二、填空题6我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_解析：关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于yx对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换答案：(为参数)7已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应
4、的基圆的直径是_，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把代入曲线的参数方程，得x，y，由此可得对应的坐标为.答案：28已知圆的方程为x2y24，点P为其渐开线上的一点，对应的参数，则点P的坐标为_解析：由题意，圆的半径r2，其渐开线的参数方程为(为参数)当时，x，y2，故点P的坐标为P(，2)答案：(，2)三、解答题9已知渐开线的参数方程是(为参数)，求当参数为和时对应的渐开线上的两点A、B之间的距离解：当时，当时，所以A(，2)，B(2，2)，所以|AB|.10渐开线方程为(为参数)的基圆的圆心在原点，把基
5、圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标解：由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x2y236.把横坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆方程y236，即1，对应的焦点坐标为(6，0)和(6，0)B级能力提升1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是()A3B4C5 D6解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.答案：C2摆线(t为参数，0t2)与直线y4的交点的直角坐标为_解析：由题设得44(1cos t)得cos t0.因为t0，2)，所以t1，t2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(24，4)，(64，4)答案：(24，4)，(64，4)3已知圆C的参数方程(为参数)和直线l的普通方程xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线xy60的距离d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是(为参数)
