1、20192020学年四川成都锦江区四川师范大学附属中学高二下学期期中文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，复数，则（ ）A B C D2. 已知，则（ ）A B C D3. 甲、乙两人在某项测试中的六次成绩的茎叶图如图所示，表示甲、乙两人的平均成绩，表示甲、乙两人成绩的标准差，则（ ）A B C D4.已知实数满足不等式组则的取值范围是（ ）A B C D5. 已知等比数列，则数列的前项之和是（ ）A B C D6. 设函数是定义在上的奇函数，且当时，则（ ）A B C D7. 在中，角的对边
2、分别为，则“”是“是等腰三角形”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8. 明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”）编成易于上口的孙子口诀三人同行七十稀，五树梅花甘一支，七子团圆正半月，除百零五便得知已知正整数被除余被除余，被除余，求的最小值按此口诀的算法如图，则输出的结果为（ ）A B C D9. 在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为（ ）A B C D10. 函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D11. 已知双曲线点在双曲线的左支上，为坐标原点，直线与双曲线的右支交于点若直线的斜率为，直线的斜率为则双曲
3、线的离心率为（ ）A B C D12. 已知函数，若恒成立，则整数的最大值为（ ）A B C D二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.取值如下表:已知与线性相关，且求得回归方程为，则_ 14. 已知直角坐标系，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为 15. 函数定义在上，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集为_ 16. 以下四个关于圆锥曲线的命题中:平面内到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是圆;点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是;平面内的动点到点的距离比到点的距离大，则动点的轨迹是双曲线;若过
4、点的直线交椭圆不同的两点，且是的中点，则直线的方程是其中真命题的序号是_ _(写出所有真命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若函数，当时，函数有极值为求函数的解析式.若有个解，求实数的取值范围.18. 市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如表所示:月收入(单位:百元)频数赞成人数用样本估计总体的思想比较该市月收入低于(百元)和不低于(百元)的类人群在该项措施的态度上有何不同.现从上表中月收入在和的市民中各随机抽取一个进行跟踪调查，求抽取的两个人恰
5、好对该措施一个赞成一个不赞成的概率.19. 在三棱柱中，侧面为矩形，为的中点，与交于点侧面.证明:.求三棱锥的体积.20. 已知平面内动点与两定点和连线的斜率之积等于求动点的轨迹的方程;设直线与轨迹交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.21. 设函数.当时，求函数的单调区间.当时，函数有唯一零点，求正数的值.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.求曲线的普通方程.设曲线，交于不同的两点，求两点的距离.20192020学年四川成都锦江区四川师范大学附属中学高二下学期期中文科数学试卷(详解)一
6、、选择题1. 【答案】【解析】复数.故选:.2. 【答案】【解析】，.故选.3. 【答案】【解析】由茎叶图，得甲运动员成绩的平均数，方差标准差;乙运动员成绩的平均数，方差标准差则.故选.4. 【答案】【解析】依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线，平移该直线，注意到当直线经过该平面区域内的点时，相应直线在轴上的截距的变化范围是，因此的取值范围是，故选.5. 【答案】【角解军析】设等比数列的公比为， 解得数列的前项之和.故选:.6. 【答案】【解析】根据题意，当时，则，又由函数为奇函数，则.故选.7. 【答案】【解析】，根据余弦定理可得，整理得为等腰三角形，所以是充分条件，但
7、是等腰三角形不一定所以是不必要，故选.8. 【答案】【解析】方法:正整数被除余，得被除余，得被除余，得求得的最小值是.故选.方法二:按此歌诀得算法如图，按程序框图知的初值为代入循环结构得即输出值为.故选.9. 【答案】【解析】如图，该四面体的外接球的球心必经过外接圆的圆心且垂直于平面的直线上，且到的距离相等.在中，由余弦定理得再由正弦定理得又此即为四面体外接球的半径，故其表面积为故选.10. 【答案】【解析】函数定义域为，由得设令得，时，单调递增;时，单调递减;时，取极大值.，要使函数有两个零点即方程右有两个不同的根，即函数与有两个不同交点.即故选.11. 【答案】【解析】设点，据题意，点关于
8、坐标原点对称，则点，由已知得，两式相乘，得因为点在双曲线上，则，两式相减，得即所，即，则，所以故选:.12.【答案】【解析】，可化为即，令，则令，则，时，在单调递增.又使，即.当时，单调递减，当时，单调递增，正整数的最大值为.故选.二、填空题13. 【答案】【解析】将代入得.，解得故答案为. 14. 【答案】【解析】曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程为. 15. 【答案】【解析】由得，构造函数当时，在单调递增，不等式等价为即.故不等式的解集为 故答案为：16. 【答案】【解析】平面内到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是圆，时，是直线，故不正确.对于，点是抛物线上的动点，点是在轴上射影，点的坐标
9、是，设点在抛物线的准线上的射影为，作图如下:由抛物线定义知:，故，则，即的最小值为，故正确.由双曲线性质可知，若的轨迹为双曲线，是双曲线的焦点，而动点点到的距离比到点的距离为且，即，因当时，动点的轨迹是双曲线的右支，而当时，此时动点的轨迹不是双曲线，故不正确.对于，若过点的直线交椭圆于不同两点，则得直线方程为.综上所述，真命题的序号式.三、解答题17. 【答案】.【解析】，由题意:解得所求的解析式为.由可得，令，得或当时，当时，当时，因此，当时，有极大值当时，有极小值，函数的图象大致如图.由图可知：18. 【答案】月收入不低于(百元)的人群对该措施持肯定态度的比月收入低于(百元)的人群中持肯定
10、态度的比例要高.【解析】由表知，样本中月收入低于(百元)的共有人，其中持赞成态度的共有人，赞成人数的频率，月收入不低于(百元)的共有人，其中持赞成态度的共有人，赞成人数的频率根据样本估计总体思想可知月收入不低于(百元）的人群对该措施持肯定态度的比月收入低于(百元）的人群中持肯定态度的比例要高.将月收入在中，不赞成的人记为，赞成的人记为，月收入在中不赞成的人记为，赞成的人记为，从月收入在和的人中各随机抽取人，基本事件总数:，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”共包含:，共个，抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率19. 【答案】证明见解析.【解析】由题意得且，又侧面，又与交于点面又面.，且平面由知为三棱锥的高，底面为直角三角形，20. 【答案】.【解析】设，则，化简为.代入椭圆方程，消去得直线与椭圆有两个交点，可得设，弦长，中点，设，时，21. 【答案】在上为增函数，在上为减函数.【解析】时，令，解得当时，此时单调递增;当时，此时单调递减;故在上为增函数，在上为减函数.时，函数，有唯一实数解.设，则令，得.，(舍去)当时，在单调递减，当时，在单调递增.当时，取最小值.有唯一解，所以.则，即设函数，当时，是增函数，至多有一解.，方程的解为即 解得22. 【答案】.【解析】，故曲线方程为.曲线，为曲线的半径)，为圆心到直线的距离
