1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一平面向量的数量积的基本概念及运算1.(2018全国卷II)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0【解析】选B.因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2a2-ab=21-(-1)=3.2.(2019皖南八校联考)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45,则(a+2b)a=_.世纪金榜导学号【解析】因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45,所以(a+2b)a=a2+2ab=|a|2+
2、2|a|b|cos 45=1+.答案:1+【一题多解】坐标法解T2,因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45,可设a=,b=(1,0),则a+2b=,(a+2b)a=+=1+.答案:1+3.(2019宜昌模拟)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为()A.B.C.-D.-【解析】选A.=(2,1),=(5,5),由定义知在方向上的投影为|cos =.平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2)
3、,则ab=x1x2+y1y2.(3)对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再运算.考点二平面向量的数量积在几何中的应用【典例】1.在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值为_.2.已知O,N,P在ABC所在平面内,且|=|=|,+=0,且=,则点O,N,P依次是ABC的()世纪金榜导学号A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)【解题导思】序号联想解题1看到“=-4”,想到和分别用,来表示2看到三个题设条件,想到ABC的“三心”【解析】1.=32co
4、s 60=3,=+,则=(-)=3+4-9-3=-4=.答案:2.选C.由|=|=|知,O为ABC的外心;由+=0知,N为ABC的重心;因为=,所以(-)=0,所以=0,所以,即CAPB,同理APBC,CPAB,所以P为ABC的垂心.1.平面向量中数量积的三种求法(1)利用定义求解.(2)利用向量的坐标运算求解.(3)利用向量数量积的几何意义求解.2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略(1)利用运算律结合图形先化简再运算.(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:(1)+=0,则点O为三角形的重心
5、.(2)|=|=|,则点O为三角形的外心.(3)=,则点O为三角形的垂心.(4)|+|+|=0,则点O为三角形的内心.1.(2020济宁模拟)平面四边形ABCD中,+=0,(-)=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形【解析】选C.因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.2.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=(1-)+(1-)+(1+2),R,则点P的轨迹一定经过()A.ABC的内心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.AB边的中点【解析】选C.取AB的中点D,则2
6、=+,因为=(1-)+(1-)+(1+2),所以=2(1-)+(1+2)=+,又+=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过ABC的重心.考点三 平面向量数量积的综合应用命题精解读考什么:(1)平面向量的模,平面向量的夹角,平行、垂直问题;(2)考查数学运算等核心素养,以及数形结合,转化与化归的思想.怎么考:与平面向量基本定理,坐标运算,平面几何结合考查求模,夹角,夹角余弦值,参数等等.学霸好方法1.在求向量的模时,一定要注意公式|a|= 的应用,即将向量的长度(或模)转化为向量数量积.2.求两个向量的夹角,常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角
7、.3.解决关于平面向量的平行与垂直问题,其关键是充分利用平行与垂直的充要条件,得出一个等式,然后求解.平面向量的模【典例】1.(2019全国卷)已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为|=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),所以=2.2.已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为_.【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(
8、5,3b-4y),所以|+3|=(0yb),当y=b时,|+3|取得最小值5.答案:51.求向量的模有哪些方法?提示:(1)公式法,利用|a|=及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算.(2)几何法,利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)有哪些方法?提示:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.平面向量的夹角【典例】1.(2019全国卷)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos=_.【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2
9、-4ab=9,所以|c|=3,因为ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,所以cos=.答案: 2.(2019衡水模拟)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则向量a+b与a-b的夹角为_.世纪金榜导学号【解析】将|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+b2+2ab=a2+b2-2ab,所以ab=0.将|a+b|=|a|两边平方,得a2+b2+2ab=a2,所以b2=a2.设a+b与a-b的夹角为,所以又因为0,所以=.答案:1.向量夹角问题如何求解?提示:若题目给出向量的坐标表示,可直接运用公式cos =求解.没有坐标时可用公式cos =.研究向量夹角应注意“共起点”,注意取
10、值范围是0,.2.对于两个不共线的向量,数量积的符号与夹角有何关系?提示:当数量积大于0时,夹角为锐角;当数量积等于0时,夹角为直角;当数量积小于0时,夹角为钝角.平行、垂直问题【典例】1.(2020天津模拟)已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3),若(2a+b)c,则x=()A.-1 B.-2C.-3 D.-4【解析】选C.因为a=(1,2),a-b=(4,5),所以b=a-(a-b)=(1,2)-(4,5)=(-3,-3),所以2a+b=2(1,2)+(-3,-3)=(-1,1).又因为c=(x,3),(2a+b)c,所以-13-x=0,所以x=-3.2.(2019全国
11、卷)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()世纪金榜导学号A.B.C.D.【解析】选B.设夹角为,因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2,所以又0,所以a与b的夹角为.两个非零向量垂直的充要条件有哪些?提示:abab=0x1x2+y1y2=0|a-b|=|a+b|.注意:数量积的运算ab=0ab中,是对非零向量而言的,若a=0,虽然有ab=0,但不能说ab.1.已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a +2b|=_ .【解析】 =22+222+22=4+4+4=12,所以答案:22.若非零向量a,b满足|a|=3
12、|b|=|a+2b|,则a与b的夹角余弦值为_.【解析】因为|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4ab+4|b|2,所以ab=-|b|2,令夹角为,所以答案:-3.(2019北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=_.【解析】因为ab,所以ab=-46+3m=0,所以m=8.答案:81.(2019天津高考)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=_.【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为ADBC,所以四边形AEBF为平行四边形,因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.因为BAD=30
13、,AB=2,所以AF=2,即=.因为=-=-,所以=(-)=-=25-12-10=-1.答案:-1【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D.因为ADBC,BAD=30,所以ABE=30,因为AE=BE,所以BAE=30,所以直线BE的斜率为,其方程为y=(x-2),直线AE的斜率为-,其方程为y=-x.由得x=,y=-1,所以E(,-1).所以=(,-1)=-1.答案:-12.(2020武汉模拟)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量,若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是()A.-1B.+1C.2D.2-【解析】选A.设e=(1,0),b=(x,y),则b2-4eb+3=0x2+y2-4x+3=0(x-2)2+y2=1.如图所示,a=,b=(其中A为射线OA上动点,B为圆C上动点,AOx=).所以|a-b|min=|CD|-1=-1(其中CDOA).关闭Word文档返回原板块
