1、第3章 单元复习课 一、因式分解的定义 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.(1)因式分解的结果必须是整式的乘积的形式；(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算.二、因式分解的方法 1.方法选择 注：提公因式法因式分解的关键是确定公因式，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑：对于系数，取各项系数的最大公约数；对于字母，考虑两条：一是取各项的相同字母，二是取相同字母的最低次幂.2.因式分解的步骤 多项式因式分解的步骤可以简单地归纳为：一提二套三查，即先考虑各项有无公因式可提，再考虑能否套用公式来分解，最后还要检查每个因式是否还可以再分解(对因式分
2、解的结果要求是不能再分解为止)以及分解的结果是否正确.注：1.对因式分解的意义认识不到位，造成局部变成积的形式，而整体还是和差的形式.2.提公因式时易出现的错误:提后丢项：与公因式相同的项提后变成0；提而不“净”：提取的不是最大公因式，造成因式分解不彻底；“过度”提取：提公因式后造成余下的部分出现分式;只提不变：忽视首项为负数时,负号提出后其余各项应该变号.3.公式应用混乱，特别是当公式中的字母代表的是多项式时，忽视了整体思想的应用，造成解题思路出现错误.4.对整式的乘法与因式分解的关系理解不清，分解完成后又走“回头路”，变成和差的形式.因 式 分 解 定义 方法 步骤 提公因式法 运用公式法
3、 平方差公式 完全平方公式 1.提：提公因式 2.套：套用公式 3.查：检查结果是否分解彻底 用提公因式法进行因式分解【相关链接】用提公因式法进行因式分解时，最关键的一步是确定公因式.寻找公因式时,对于数字因数找各项数字的最大公约数，对于相同的字母，找相同字母的最低次幂.【例1】(2012汕头中考)因式分解：2x2-10 x=_.【思路点拨】找公因式 提公因式 结果【自主解答】2x2-10 x=2x(x-5)答案：2x(x-5)用公式法进行因式分解【相关链接】符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点 1.有两项；2.两项都能写成平方的形式；3.符号相反.符合用完全平方公式因式分解的多项式
4、一般有以下特点 1.有三项；2.其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方的形式；3.另一项是这两数(或两式)的乘积（或乘积相反数）的2倍.【例2】因式分解：(1)(2012绥化中考)a3b-2a2b2+ab3=_.(2)(2012抚顺中考)4x2y-y3=_.【教你解题】(1)提公因式 a3b-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2)运用完全 平方公式 答案 ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2 ab(a-b)2(2)提公因式 4x2y-y3=y(4x2-y2)运用平方差 公式 答案 y(4x2-y2)=y(2x+y)(2x-y)y(2x+y)(2x-y)因式分解的简单应用
5、【相关链接】因式分解是代数运算中的一种重要的恒等变形，其应用非常广泛，特别是对于含有条件限制的多项式求值，如果考虑利用因式分解将所求多项式进行适当变形，转化为已知条件，往往能收到事半功倍的效果.【例3】在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式x4y4，因式分解的结果是(xy)(xy)(x2y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(xy)=0，(xy)=18，(x2y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码有哪些？【思路点拨】先将给定
6、的多项式因式分解，然后计算出各部分对应值，进而得出有关的密码.【自主解答】因为4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y),所以当x=10,y=10时，有x=10，(2x+y)=20+10=30,(2x-y)=20-10=10,所以产生的密码是101030或103010或301010.【命题揭秘】结合近几年中考试题分析，因式分解的考查有以下特点：1.命题方式为用提公因式、公式法因式分解或与分式的运算结合进行综合考查，题型以选择题和填空题为主，偶尔可见简单的解答题.2.命题的热点为综合运用提公因式法和公式法因式分解，一般是首先提取公因式，然后利用公式法因式分解.1.(2011河
7、北中考)下列因式分解正确的是()(A)-a+a3=-a(1+a2)(B)2a-4b+2=2(a-2b)(C)a2-4=(a-2)2 (D)a2-2a+1=(a-1)2【解析】选D.A中-a+a3=-a(1-a2)=-a(1+a)(1-a)，故本选项错误；B中2a-4b+2=2(a-2b+1)，故本选项错误；C中a2-4=(a-2)(a+2)，故本选项错误；D中a2-2a+1=(a-1)2，故本选项正确.2.把x2-y2-2y-1因式分解，结果正确的是()(A)(x+y+1)(x-y-1)(B)(x+y-1)(x-y-1)(C)(x+y-1)(x+y+1)(D)(x-y+1)(x+y+1)【解析
8、】选A.原式=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1).3.把代数式ax2-4ax+4a因式分解，下列结果中正确的是()(A)a(x-2)2 (B)a(x+2)2 (C)a(x-4)2 (D)a(x+2)(x-2)【解析】选A.ax2-4ax+4a=a(x2-4x+4)=a(x-2)2.4.(2012来宾中考)因式分解：2xy-4x2=_.【解析】原式=2x(y-2x).答案：2x(y-2x)5.(2012益阳中考)写出一个在实数范围内能用平方差公式进行因式分解的多项式：_.【解析】能用平方差公式进行因式分解的多项式形如a2-b2，因此本题答案不唯一，如x2-
9、1.答案：x2-1(答案不唯一)6.(2012孝感中考)因式分解：a3b-ab=_.【解析】a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).答案：ab(a+1)(a-1)7.(2012北京中考)因式分解：mn2+6mn+9m=_.【解析】原式=m(n2+6n+9)=m(n+3)2.答案：m(n+3)2 8.刘师傅在制造某汽车配件时，需要一段钢管，已知外圆半径R=9.2 cm,内圆半径r=8.3 cm,请你帮他计算一下环形面积.(取3.14,保留三个有效数字)【解析】根据题意，环形面积是(R2-r2)cm2.当R=9.2 cm,r=8.3 cm时，R2-r2=(R2-r2)=(R+r)(R-r)=3.14(9.2+8.3)(9.2-8.3)=3.1417.50.9=49.45549.5(cm2).答：所求环形面积约为49.5 cm2.9.化简：(a-b)(a+b)2-(a+b)(a-b)2+2b(a2+b2).【解析】(a-b)(a+b)2-(a+b)(a-b)2+2b(a2+b2)=(a-b)(a+b)(a+b-a+b)+2b(a2+b2)=2b(a2-b2)+2b(a2+b2)=2b(a2-b2+a2+b2)=4a2b.
