1、要点导学各个击破一、二次函数的应用问题某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1) 当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆?(2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?思维引导解应用题一般要根据题意建立函数关系式,再利用配方、基本不等式、导数或函数的单调性等研究函数的最值,从而解决实际问题.解答(1) 能租出100-=88(辆).(2) 设月租金为3000+50x(0x100,xN*),月收益
2、y=(3000+50x)(100-x)-150(100-x)-50x=-50x2+2100x+285 000,当x=21,即月租金为4050元时,最大月收益为307050元.指(对)数函数的应用问题某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个,分裂所需时间忽略不计),研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数y是研究时间t的函数,记作y=f(t).(1) 写出函数y=f(t)的定义域和值域;(2) 写出研究进行到n h(n0,nZ)时,细菌的总数(用关于n的式子表示);(3) 经过几个小时,细菌总数为1 024?解答(1) y=f(t)的定义域为0,+),值域为y|y=2n,
3、nN*.(2) 当n为偶数时,y=;当n为奇数时,y=.所以y=(3) 若n为偶数,则有=1 024,即+1=log21 024=10,所以n=18.若n为奇数,则有=1 024,即+1=log21 024=10,所以n=19.故经过18 h,细菌总数为1024.分段函数的应用问题(2014常州模拟)几名大学毕业生合作开3D打印店,生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元.该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其他固定支出20 000元.假设该产品的月销售量t(x)(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)(xN*)
4、之间满足如下关系:当34x60时,t(x)=-a(x+5)2+10 050;当60x76时,t(x)=-100x+7 600.设该店月利润为M(单位:元,月利润=月销售总额-月总成本),求M关于销售价格x的函数关系式.思维引导采用“分段函数,分段处理”的办理,分别表示出当34x60时,t(x)和当60x76时,t(x),求出M关于销售价格x的函数关系式.解答当x=60时,t(60)=1 600,代入t(x)=-a(x+5)2+10 050,解得a=2.当34x60时,M(x)=-2(x+5)2+10050(x-34)-20000=-2x3+48x2+10680x=36000;当60x76时,M
5、(x)=(-100x+7600)(x-34)-20000=-100x2+1100x-278400.即M(x)=其他函数的应用问题已知某物体的温度(单位:)随时间t(单位:min)的变化规律为=m2t+(t0,并且m0).(1) 如果m=2,经过多少时间,物体的温度为5?(2) 若物体的温度总不低于2,求m的取值范围.思维引导(1) 将=5代入=m2t+21-t(t0,且m0),通过解方程即可求出t;(2) 将问题转化为恒成立问题,从而求出m的取值范围.解答(1) 若m=2,则=22t+21-t=2,当=5时,2t+=,令2t=x1,则x+=,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=(舍去),此
6、时t=1.所以经过1min,物体的温度为5.(2) 物体的温度总不低于2,即2恒成立,即m2t+2恒成立,则有m2恒成立.令=x,则0x1,所以m2(x-x2),由于x-x2,所以m.因此,m的取值范围是.精要点评解函数应用题的步骤,审题:弄清题意,分清条件和结论,确定数量关系,初步选择数学模型;建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;求模:求解数学模型,得出数学结论;还原:将数学问题还原为实际问题的意义.(2014望江模拟)学校食堂改建一个开水房,计划用电炉或煤炭烧水,但用煤时也要用电鼓风及时排气,用煤烧开水每吨开水费为S元,用电炉烧开水每
7、吨开水费为P元,且S=5y+0.2x+5,P=10.2x+20,其中y为每吨煤的价格,x为每百度电的价格.如果用煤时的费用不超过用电炉时的费用,那么仍用原备的锅炉烧水,否则就用电炉烧水.(1) 如果两种方法烧水费用相同,试将每吨煤的价格y表示为每百度电的价格x的函数;(2) 如果每百度电的价格不低于60元,那么用煤烧水时每吨煤的最高价是多少?解答(1) 由题意得5y+0.2x+5=10.2x+20,即 y=2x+4-1(00),设点M的坐标为(s,t).(题中所涉及长度单位均为m,栈桥及防波堤都不计宽度)(1) 求三角形观光平台MGK面积的最小值;(2) 若要使观光平台MGK的面积不小于320
8、 m2,求t的取值范围.图(1)图(2)(范题赏析)思维引导先求出平台MGK面积的表达式,也就是目标函数,是包含s和t两个未知数的函数,恰好st是一个整体,可用换元法转化为只含有一个未知数的函数,先应用基本不等式求出st(函数自变量)的取值范围,再利用导数判断函数的单调性,最后利用单调性求出函数的最小值.第(2)问需要根据第(1)问中函数的单调性求出st的取值范围,再代入消元,解出t的范围.规范答题(1) 由题意,得K,G,s0,t0.又因为点M(s,t)在线段CD:x+2y=20(0x20)上,所以s+2t=20(0s20),所以SMGK=MGMK=. (4分)由20=s+2t2,得0st5
9、0,当且仅当s=10,t=5时等号成立. (6分)令st=u,则f(u)=SMGK=,u(0,50.又f(u)=0,故f(u)在(0,50上单调递减,(注意:若f(u)在(0,50上单调递减未证明扣1分)所以f(u)min=f(50)=225,此时s=10,t=5.所以MGK面积的最小值为225 m2.(10分)(2) 由题意得f(u)320,由320,解得u40或u1 000(舍去),由(1)知st40, (14分)即(20-2t)t40,解得t5+或t5-.所以t的取值范围是(0,5-5+,10. (16分)1. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴
10、影部分),则其长x(单位:m)的取值范围是.(第1题)答案10,30解析易知矩形的宽为h=40-x,则由题意有x(40-x)300,解得x10,30.2. 某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是 y=3000+20x-0.1x2(0x240,xN*), 若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是台.答案150解析设利润为f(x),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 0000,解得x150或x-200(舍去).3. 某不法商人将彩电按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结
11、果是每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是元.答案2250解析设彩电原价为x元,则(x+40%x)80%-x=270,解得x=2250.4. 一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案,他分别以A,B,C,D为圆心,以b为半径画圆,由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形,则这些图形中实线部分总长度的最小值为.(第4题)答案3解析由题意可知,实线部分的总长度l=4(3-2b)+2b=(2-8)b+12,l关于b的一次函数的一次项系数2-80,故l关于b的函数单调递减.因此,当b取最大值时,l取得最小值,结合图形知,b的最大值为,则lmin=(2-8)+12=3.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第27-28页).
