1、对数 对数函数一、学习目标1、理解对数概念；2、能进行对数式与指数式的互化；3、掌握对数的运算性质；4、培养应用意识、化归意识。5、掌握对数函数的概念；6、掌握对数函数的图像的性质；7、掌握比较对数大小的方法，培养应用意识；8、培养图形结合、化归等思想。二、例题分析 第一阶梯例1将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)log216=4； (3)54=625； 解：(1)24=16 (3)54=625，log5625=4. 例2解下列各式中的x： (3)2x=3； (4)log3(x-1)=log9(x+5). 解： (3)x=log23. (4)将方程变形为 例3求下列函数的定义域：
2、 思路分析： 求定义域即求使解析式有意义的x的范围，真数大于0、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。 解：(1)令x2-4x-50，得(x-5)(x+1)0，故定义域为x|x5 04x-31。 所以所求定义域为x|-10，或0x0，a1)。 思路分析： 题中各组数可分别看作对数函数y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函数值，可由对数函数的单调性确定。 解：(1)因为底数21，所以对数函数y=log2x在(0，+)上是增函数，于是log23.4log28.5； (2)因为底数为0.3，又00.3 log0.32.7； (3)当a1时，函数y=logax在(0，+)上是
3、增函数，所以loga5.1loga5.9； 当0aloga5.9。 说明：本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分 情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，利用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方 法。 例5若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子中正确的个数是（ ） (1)logaxlogay=loga(x+y)； (2)logax-logay=loga(x-y)； (4)logaxy=logaxlogay； A、0 B、1 C、2 D、3 思路分析： 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能
4、把 对数符号当作表示数的字母参与运算。如logaxlogax，logax是不可分开的一个整体。4个选项都把对 数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。 答案：A例6已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求 。 思路分析：解本题的关键是设法将 的常用对数分解为2，3的常用对数代入计算。 解： 第三阶梯例7若方程lg(ax)lg(ax2)=4的所有解都大于1，求a的取值范围。 思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。 解：原方程化为 (lgx+lga)(lga+2lgx)=4。 2lg2x+3lgalgx+lg2a-4=0， 令t=l
5、gx，则原方程等价于 2t2+3tlga+lg2a-4=0，(*) 若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解均大于0，则 说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。 例8将y=2x的图像（ ） A、先向左平行移动1个单位 B、先向右平行移动1个单位 C、先向上平行移动1个单位 D、先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2(x+1)的图像。 思路分析：由于第二步的变换结果是已知的，故本题可逆向分析。 解法1：在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像，直接观察，即可得D。 解法2：与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x
6、以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像，为了得到它， 只需将y=2x的图像向下平移1个单位。 解法3： 本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0，0)点，因此排除A、B、C，即得D。 说明：本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。例9已知log189=a，18b=5，求log3645的值；（用含有a、b的式子表示） 思路分析： 当指数的取值范围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算（扩展之前开方运算是乘方运算的逆 运算）。因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式 上。 解：由18b=5，得b=log185，
7、又log189=a， log189+log185=log3645=a+b，则 说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数 学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活应 用。三、检测题1、在b=log(a-2)(5-a)中，实数a的范围是（ ） A、a5或a2 B、2a5 C、2a3或3a5 D、3a0) B、y=log5x+1(x0且x1) C、y=log5(x+1)(x-1) D、y=log5(x-1)(x1)8、已知y=loga(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是（ ） A、（0，1） B、（1，2） C、（0，2） D、2，+）9、若0a1，则log3(log3a)是（ ） A、正数 B、负数 C、零 D、无意义10、已知a=log32，那么log38-2log36用a表示是（ ） A.a-2 B.5a-2 C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-111、若log2log0.5(log2x)=0，则x=_。12、计算 答案： 15 C A A C A 610 C D B D A 12、（1）原式=1；（2）原式=1。
