1、第四章 导数专练1已知函数为自然对数的底数）（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）证明：对任意实数，函数有且只有一个零点（1）解：，则，因为函数在上为增函数，所以在上恒成立，设，当时，在上单调递增，则，解得；当时，令，解得，则当，时，单调递减，当，时，单调递增，所以，解得，综上，实数的取值范围是，（2）证明：，当时，时，单调递减，又（1），所以在时，恰有一个零点；当时，令，可得，恰有一个零点；当时，时，单调递减，（1），所以在时恰有一个零点综上，有且只有一个零点2已知函数（1）当时，求证：；（2）当时，讨论零点的个数解：（1）证明：当时，则，当时，单增，当时，单减，（1），即得证；
2、（2）令，则即为，当，即时，该方程不成立，故不是的零点；接下来讨论时的情况，当时，方程可化为，令，则，当时，当且仅当时取等号，当时，当且仅当时取等号，当时，单增，当时，单减，且当时，当时，当时，函数的大致图象如下：由图象可知，当，即时，只有一个解，则有一个零点，当，即时，有两个解，则有两个零点综上，当时，有两个零点，当时，有一个零点3已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰好有三个零点，求的取值范围解：（1）函数的定义域是，由，得，由于，则，即在区间上，递减，当时，的变化如下：，0递增极大值递减当时，即在区间，上，递减，综上：当时，在递减，在区间上递增，在，递减，当时，函数在区间上单调递
3、减（2）结合（1）得当时，函数可能存在3个零点，当时，（1），在区间上恰好存在一个零点，在区间上存在2个零点，需保证，即，且此时（1），在区间上存在1个零点，同时，设，对于函数，故，且，在区间，上存在1个零点，综上：当时，在区间，上各存在1个零点4已知函数（1）当时，证明：；（2）若有两个零点，求实数的取值范围1）证明：的定义域为，当时，令，解得时，此时函数单调递减；时，此时函数单调递增时，函数取得极小值即最小值，（1），（2）解：当时，由（1）可知：时，函数取得极小值即最小值（1）又由（1）可知：当时，要使得函数有两个零点，则（1），解得此时（2），函数在，上个有一个零点，满足题意当时，令，
4、解得，或可得：100单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：时，函数取得极大值令（a），则（a），函数（a）在上单调递增（a），（a），函数在上不可能有两个零点，舍去当时，函数在上单调递增，不可能有两个零点，舍去当时，可得：100单调递增极大值单调递减极小值单调递增可得：时，函数取得极大值（1），函数不可能有两个零点，舍去综上所述可得：若有两个零点，则实数的取值范围为5已知函数，其中（1）当，时，证明：；（2）若函数恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数有两个不同的零点，证明：解：（1）证明：当时，当时，在单调递增，（1），（1）；（2），则，令，当时，又，则，当时，得，故当时，在上单
5、调递增，且（1），故有，可得，当时，有，此时有2个零点，设为，且，又，故，在上，为单调递减函数，故此时有，即，得，此时不恒成立，综上：的取值范围是，；（3）证明：若有2个不同的零点，不妨设，则，为的两个零点，且，由（2）知此时，并且在，上单调递增，在，上单调递减，且（1），且的图像连续不断，综上：6已知函数，（1）若，求函数的单调区间；（2）若，求证：函数有且仅有1个零点解：（1），当时，令，得：；令，得；当时，令，得：或，令，得；因此，当时，在递增，在递减；当时，在，递减；在递增（2）证明：时，时，时，时，故在递减，在递增，在递减，又（1），所以在上无零点，设，则，则在递减，在递增，所以（1
6、），所以取对数，得，故，又，所以，所以时，当，即时，故，又（1），的图象在上连续不间断，所以函数在有且仅有1个零点，综合，得当时，函数有且仅有1个零点7已知函数为奇函数，曲线在点，（1）处的切线与直线平行（）求的解析式及单调区间；（）讨论的零点个数解：（）函数为上的奇函数，所以，即，解得；又，且曲线在点，（1）处的切线与直线平行，所以（1），解得，所以所以，令，解得，所以，时，单调递增；，时，单调递减；所以的单调增区间为和，减区间为，；（）由（）知，的极大值为，极小值为，函数的零点，即为与图象的交点；如图所示：由图象知，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点8已知函数，为自然对数的底数，（1）设函数，若在，上为减函数，在，上为增函数，求的取值范围；（2）求证：函数有唯一零点（1）解：，因为，所以令，可得或，令，可得，所以在，上为增函数，在，上为减函数，在，上为增函数，因为在，上为减函数，在，上为增函数，所以，且，所以，所以实数的取值范围是，（2）证明：令，可得，设，则，故在内至少有一个零点，即至少有一个零点下面证明至多有一个零点：，令，可得，且为增函数，所以在内，为减函数；在内，为增函数，所以，则恒成立，所以在上为增函数，所以最多只有一个零点，也最多只有一个零点综上所述，有唯一零点
