1、第2课时对数函数的图象和性质(二)必备知识探新知基础知识知识点1 对数型复合函数的单调性复合函数yfg(x)是由yf(x)与yg(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为减函数对于对数型复合函数ylogaf(x)来说，函数ylogaf(x)可看成是ylogau与uf(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域知识点2 对数型复合函数的值域对于形如ylogaf(x)(a0，且a1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1
2、)分解成ylogau，uf(x)两个函数；(2)解f(x)0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用ylogau的单调性求解基础自测1函数f(x)logax在(0，)上是减函数，则a的取值范围是(C)A(0，)B(，1)C(0，1)D(1，)解析由对数函数的单调知识易知0a0，(x3)(x1)0，x3.f(x)的定义域(，1)(3，)令ux22x3，函数f(x)的单调递减区间即为ux22x3在(，1)(3，)上的递减区间故选A4已知log0.3(3x).5函数f(x)logax(0a1)在a2，a上的最大值是(C)A0B1C2Da解析0a0，得函数的定义域为x|x1或x1时，若x1
3、，ylogau为增函数，又u3x22x1为增函数，f(x)loga(3x22x1)为增函数若x，u3x22x1为减函数，f(x)loga(3x22x1)为减函数当0a1，则f(x)loga(3x22x1)为减函数，若x0，(x5)(x2)0，x5.令ux23x10，函数f(x)的单调递增区间即为函数ux23x10在(，2)(5，)上的单调递减区间，又ux23x10在(，2)上递减，故选A题型二对数型复合函数的值域例2求下列函数的值域：(1)ylog2(x24)；(2)ylog(32xx2)解析(1)ylog2(x24)的定义域为R.x244，log2(x24)log242.ylog2(x24)
4、的值域为y|y2(2)设u32xx2，则u(x1)244.u0，00，且a1)的复合函数的值域的求法的步骤：分解成ylogau，uf(x)两个函数；求f(x)的定义域；求u的取值范围；利用ylogau的单调性求解【对点练习】 函数f(x)log2(3x1)的值域为(A)A(0，)B0，)C(1，)D1，)解析3x11，且f(x)在(1，)上单调递增，log2(3x1)log210，故该函数的值域为(0，)题型三对数型复合函数的奇偶性例3(2020云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)(a0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性并加
5、以证明分析(1)函数奇偶性判断的方法是什么？(2)对数的运算法则是什么？解析(1)由题意得，1x1.函数f(x)的定义域为(1，1)(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(1，1)关于原点对称f(x)loga(x1)loga(1x)loga(1x)loga(1x)f(x)，函数f(x)为奇函数归纳提升(1)对数函数本身不具有奇偶性，但与有些函数复合后，就具有了奇偶性，如ylog2|x|就是偶函数这类函数奇偶性可利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断(2)判断函数奇偶性，有时需将函数式化简或利用定义的等价形式判断，如f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)，其中f(x)f(x
6、)0，f(x)f(x)0多用于对数型函数奇偶性的判断，1多用于指数型函数奇偶性的判断【对点练习】 函数f(x)lg是(A)A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数解析函数f(x)的定义域为(，)，关于原点对称又f(x)lglglg(x)lg()1lgf(x)，函数f(x)为奇函数误区警示忽视对数函数的定义域例4若函数yloga(2ax)在x0，1上是减函数，则a的取值范围是(B)A(0，1)B(1，2)C(0，2)D(1，)错解错解一：因为函数f(x)loga(2ax)在0，1上是减函数，根据对数函数在0a0且a1，所以u2ax为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)lo
7、ga(2ax)在0，1上为减函数，则需ylogau为增函数，从而得a1，故选D错因分析在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异减”法则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全面，犯了知识性和能力性的双重错误正解令u2ax，由于a0且a1，所以u2ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u2ax在0，1上恒大于零，当x0，1时，umin2a0，解得a1.综上可得1a0才有意义，请学生重点关注学科素养综合应用所学知识分析解决问题的能力例5已知f(x)ln是奇函数(1)求m；(2)判断f(x)在(1，)上的单调性，并加以证明分析(1)题目给定的关键条件是f(x)是奇函数，一般考虑用
8、f(x)f(x)，f(1)f(1)，f(0)0(当0、1在定义域中时)等，它是从反面考查函数奇偶性的判定解析(1)f(x)lnln，f(x)lnln.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即lnln，得m1.(2)f(x)在(1，)上单调递减证明：由(1)知f(x)lnln(1)任取x1，x2满足1x1x2，(1)(1).由1x1x2知，x2x10，x110，x210，(1)(1)0，即110，又ylnx为增函数，ln(1)ln(1)，即f(x1)f(x2)，f(x)在(1，)上是减函数归纳提升(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：由f(x)f(x)或f(x)f(x
9、)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果由f(a)f(a)或f(a)f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验(2)用定义证明形如yloga f(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系课堂检测固双基1(2021江苏宿迁市高一期末测试)函数f(x)lg(3x1)的定义域为(C)A(0，)B(，1C(0，1D0，1解析由题意得，0x1，故选C2(2020贵州遵义市高一期末测试)设a20.3，b0.32，clog20.3，则a、b、c的大小关系是(C)AabcBbcaCcbaDca201，b0.32(0，1)，clog20.3log210，cba.3已知函数f(x)log2为奇函数，则实数a的值为1解析f(x)是奇函数，f(x)f(x)log2log2log20.即1，所以a21，a1，当a1时，10，即0x2，则1t1.所以f(t)lglg.故f(x)lg(1x0(1x0，得x.因为1x0.由3x1，得x1(3x1)(1x)，即3x2x0，x(3x1)0，解得x或x0，又x，1x1，所以x0或x1.故原不等式的解集为(，0，1)
