1、2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1若复数z（i为虚数单位），则|z|（）AB1C5D2已知向量（2，3），（x，6），且，则x（）A9B9C4D43高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100则在男生中抽取的样本量为（）A48B51C50D494如图，ABC是水平放置的ABC的斜二测直观图，ABC为等腰直角三角形，其中O与A重合，AB6，则ABC的面积是（）A9B9C18D185已知|6，|4，与的夹角为60，则（+2）（3）（）A72B72C84D846某学校开展“
2、学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）ABCD7如图，已知，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量（）A（+）B2（+）C（）D2（）8已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形FAECBD，其中AE，则空间几何体FAECBD的体积为（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
3、求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A这组数据的平均数是8B这组数据的极差是4C这组数据的中位数是8.5D这组数据的方差是210已知复数zcos+（sin）i（R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A当时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B当时，z为纯虚数C|z|最大值为Dz的共轭复数为cos+（sin）i（R）11某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，ABADBC2cm，且CD2AB，下列说法正确的有（）A该圆台
4、轴截面ABCD面积为3cm2B该圆台的体积为cm3C该圆台的母线AD与下底面所成的角为30D沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC所在平面内点，满足x+y+z0，下列说法正确的有（）A若xyz1，则点O为ABC的重心B若xyz1，则点O为ABC的外心C若xa，yb，zc，则点O为ABC的内心D若xa，yb，zc，则点O为ABC的垂心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425
5、，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为 14天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是 15如图，在三棱锥VABC中，VAVBABACBC4，VC2，则二面角AVCB的余弦值为 16如图，ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC1：2，AN：NB1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W
6、1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率18已知角A是ABC的内角，若（sinA，cosA），（1，1）（1）若，求角A的值；（2）设f（x），当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）19如图，直三棱柱ABCABC中，D是AB的中点（1）求证：直线BC平面ACD；（2）若ACCB，求异面直线AB与CD所成角的大小202021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段90，95），95，100），1
7、00，105），105，110），110，115），115，120，得到如图的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间115，120的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？21如图，PA垂直于O所在的平面，AC为O的直径，AB3，BC4，PA3，AEPB，点F
8、为线段BC上一动点（1）证明：平面AEF平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值22为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓为安全起见，在鱼塘MNC周围筑起护栏已知AC40m，BC40m，ACBC，MCN30（1）若AM20m时，求护栏的长度（MNC的周长）；（2）若鱼塘MNC的面积是“民宿”CMA的面积的倍，求ACM；（3）当ACM为何值时，鱼塘MNC的面积最小，最小面积是多少？参考答案一、选择题（共8小题
9、，每小题5分，共40分）. 1若复数z（i为虚数单位），则|z|（）AB1C5D解：z，|z|，故选：A2已知向量（2，3），（x，6），且，则x（）A9B9C4D4解：，解得x9故选：B3高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100则在男生中抽取的样本量为（）A48B51C50D49解：高一年级共有510+4901000人，所以男生抽取的人数为人故选：B4如图，ABC是水平放置的ABC的斜二测直观图，ABC为等腰直角三角形，其中O与A重合，AB6，则ABC的面积是（）A9B9C18D18解：在斜二测直观图中，由ABC为等腰直角三角形，AB6，可得AC
10、，还原原图形如图：则AB6，AC6，则故选：D5已知|6，|4，与的夹角为60，则（+2）（3）（）A72B72C84D84解：|6，|4，与的夹角为60，则（+2）（3）361261672故选：A6某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）ABCD解：从6本书中随机抽取2本，共有种取法，若两本书来自同一类书籍则有种取法，所以两本书恰好来自同一类书籍的概率是故选：C7如图，已知，
11、任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量（）A（+）B2（+）C（）D2（）解：，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，AB是MNS的中位线，22（）2（）故选：D8已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形FAECBD，其中AE，则空间几何体FAECBD的体积为（）ABCD解：如图，过A作AGCF，垂足为G，连接EG，则EGCF，过B作BHCF，垂足为H，连接DH，则DHCF，可得平面AGE平面BHD，即三棱柱AGEBHD为直三棱柱AF1，AFG60，可得，同理求得，又AE，AG2+EG2AE2，空间几何体FAECB
12、D的体积为V故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A这组数据的平均数是8B这组数据的极差是4C这组数据的中位数是8.5D这组数据的方差是2解：对于A，这组数据的平均数是（7+8+9+10+6+8）8，故A正确；对于B，这组数据的极差是1064，故B正确；对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，这组数据的中位数是8，故C错误；对于D，这组数据的方差是S2（78）2+
13、（88）2+（98）2+（108）2+（68）2+（88）2，故D错误故选：AB10已知复数zcos+（sin）i（R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A当时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B当时，z为纯虚数C|z|最大值为Dz的共轭复数为cos+（sin）i（R）解：对于A，当时，zcos（）+sin（）i，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当时，zcos+（sin）i，为纯虚数，故B正确；对于C，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为cos（sin）i，故D错误故选：BC11某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，
14、ABADBC2cm，且CD2AB，下列说法正确的有（）A该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B该圆台的体积为cm3C该圆台的母线AD与下底面所成的角为30D沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm解：由ABADBC2cm，且CD2AB，可得CD4，高O1O2，则圆台轴截面ABCD面积为（2+4）3cm2，故A正确；圆台的体积为V（1+4+2）cm3，故B正确；圆台的母线AD与下底面所成的角为ADO1，其正弦值为，所以ADO160，故C错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面展开图的圆心角为，设AD的中点为P，连接CP，可得COP90，OC4，OP2+13
15、，则CP5，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确故选：ABD12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC所在平面内点，满足x+y+z0，下列说法正确的有（）A若xyz1，则点O为ABC的重心B若xyz1，则点O为ABC的外心C若xa，yb，zc，则点O为ABC的内心D若xa，yb，zc，则点O为ABC的垂心解：若xyz1则，取AC中点D，连接OD，O在ABC的中线BD上，同理可得O在其它两边的中线上，O是ABC的重心若xa，yb，zc，则有，延长CO交AB于D，则，a（）+b（）+c，设k，则（ka+kb+c）+（a+b），与共线，与，不共线，
16、ka+kb+c0，a+b，CD为ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线O是ABC的内心故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为 212解：根据题意，将10个数据从小到大排列：100，120，125，165，175，190，234，310，425，430；1060%6，则该组数据的第60百分位数为212，故答案为：21214天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降
17、雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是 0.38解：根据题意，设事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，P（A）0.2，P（B）0.3，甲，乙两地只有一个地方降雨的概率PP（A）+P（B）0.2（10.3）+（10.2）0.30.38；故答案为：0.3815如图，在三棱锥VABC中，VAVBABACBC4，VC2，则二面角AVCB的余弦值为 解：取VC的中点D，连接AD、BD，因为VAVBACBC4，所以ADVC，BDVC，所以ADB即为二面角AVCB的平面角，因为VAVBACBC4，VC2，所以ADBD，而AB4，在AB
18、D中，由余弦定理可得cosADB，故答案为：16如图，ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC1：2，AN：NB1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为 解：以A为原点，AB为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（，），M（，），N（，0），所以直线BM的方程为y（x1），即x+5y0，直线CN的方程为y（x），即4x4y0，联立，解得，即P（，），所以AP故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单
19、随机抽样从中任意抽取两球（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率解：（1）两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）（2）试验的样本空间（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2），包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，恰好抽到一个红球一个白球的概率P18已知角A是ABC的内角，若（sinA，cosA），（1，1）（1）若，求角A的值；（
20、2）设f（x），当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）解：（1）角A是ABC的内角，0A，又（sinA，cosA），（1，1）且，即2（sinA+）0，sin（A+）0，0A，A+，则A+，即A；（2）f（x），A，要使f（x）取得最大值，则，即A（，cos）（，），在上的投影向量为（1，1）（2，2）19如图，直三棱柱ABCABC中，D是AB的中点（1）求证：直线BC平面ACD；（2）若ACCB，求异面直线AB与CD所成角的大小解：（1）证明：连接AC，交AC于点O，连接DO，直三棱柱ABCABC中，ACCA是矩形，O是AC中点，D是AB的中点，ODBC，BC平面ACD，OD平
21、面ACD，直线BC平面ACD；（2）解法一：ACCB，D是AB的中点，CDAB，直三棱柱ABCABC中，AA平面ABC，CD平面ABC，AACD，ABAAA，CD平面ABBA，AB平面ABBA，ABCD，异面直线AB与CD所成角的大小为90解法二：ACCB，D是AB的中点，CDAB，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设CDc，ABa，AAb，则A（，0，0），B（，0，b），C（0，c，0），D（0，0，0），（a，0，b），（0，c，0），0，ABCD，异面直线AB与CD所成角的大小为90202021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门
22、在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段90，95），95，100），100，105），105，110），110，115），115，120，得到如图的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间115，120的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查
23、的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？解：（1）设平均车速的中位数的估值为x，则0.015+0.025+0.045+0.06（x105.0）0.5x107.5故平均车速的中位数为107.5（2）车速在90，95）内的有0.014052，车速在95，100）的有0.024054，故抽取的2辆汽车的平均车速都在区间95，100）上的概率（3）设事件A为“汽车收到短信提醒”，则，汽车的速度不受影响，连续两辆汽车都收到短信体现的概率P21如图，PA垂直于O所在的平面，AC为O的直径，AB3，BC4，PA3，AEPB，点F为线段BC上一动点（1）证明：平面AEF平面PBC；（2）当
24、点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为PA垂直于O所在的平面，即PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，又AC为O的直径，所以ABBC，因为PAABA，所以BC平面PAB，又AE平面PAB，所以BCAE，因为AEPB，BCPBB，所以AE平面PBC，又AE平面AEF，所以平面AEF平面PBC（2）解：因为AB3，PA3，所以PB3，又AEPB，所以AE，由AB2BEPB，可得BE，如图，过点E作EGPA交AB于点G，则，可得EG，又BC4，所以EC，所以SABCABBC6，SAECAEEC，设点B到平面AEC的距离为h，由VEABCVBAEC，可得SA
25、BCEGSAECh，解得h，所以当点F移动到C点时，PB与平面AEF所成角的正弦值为22为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓为安全起见，在鱼塘MNC周围筑起护栏已知AC40m，BC40m，ACBC，MCN30（1）若AM20m时，求护栏的长度（MNC的周长）；（2）若鱼塘MNC的面积是“民宿”CMA的面积的倍，求ACM；（3）当ACM为何值时，鱼塘MNC的面积最小，最小面积是多少？解：（1）AC40m，BC40m，ACBC，tanB，
26、B30，A60，AB2AC80，在ACM中，由余弦定理可得CM2AC2+AM22ACAMcosA1600+400240201200，则CM20，AC2AM2+CM2，CMAB，MCN30，MNCMtan3020，CN2MN40，护栏的长度（MNC的周长）为20+40+2060+20；（2）设ACM（060），因为鱼塘MNC的面积是“民宿”CMA的面积的倍，所以，即CN40sin，在CAN中，由，得CN，从而40sin，即sin2，由02120，得245，所以22.5，即ACM22.5（3）设ACM（060），由（2）知CN，又在ACM中，由，得CM，所以SCMN，所以当且仅当2+6090，即15时，CMN的面积取最小值为km2（16分）
