1、第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换【素养目标】1能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式(逻辑推理)2了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题(数学运算)3进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题(逻辑推理、数学运算)【学法解读】在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件培养学生数学中的逻辑推理必备知识探新知基础知识知识点一半角公式cos()，sin()，tan()思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？(2)半角
2、公式中的正负号能否去掉？该如何选择？(3)半角公式对R都成立吗？提示：(1)二倍角的余弦公式推导如下：在二倍角公式cos212sin22cos21中，以代替2，以代替，即得：cos12sin22cos21.所以sin2，cos2，tan2.开方可得半角公式(2)不能若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；若给出的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号(3)公式，对R都成立，但公式要求(2k1)(kZ)基础自测1下列说法中正确的个数是(A)sin.cos20.tan.sin4cos42sin(4)A1B2C3D4解析错误，正确，故选A2已知180360，
3、由cos的值等于(C)ABCD3已知cos，则sin等于(B)ABCD解析，sin.4sinxcosx等于(C)Asin2xBsinCsinDsin解析原式sin.5已知cos ，且270360，试求sin和cos的值解析270360，1350，cos0.sin；cos.关键能力攻重难题型探究题型一应用半角公式给角求值例1求下列式子的值：sin 75、cos 75、tan 75.分析75是150的半角解析sin 75.cos 75.tan 752.或tan 752.或tan 752.或tan 752.归纳提升求sin 75、cos 75，利用sin(4530)，cos(4530)求解不易出错，
4、但比较麻烦而应用半角公式化简容易化简不到位tan 75的求解应注意选择合理的公式当然sin 75、cos 75，可以先利用诱导公式将角变小，sin 75sin(9015)cos 15，cos 75cos(9015)sin 15，再利用半角公式求解【对点练习】求值tan.解析方法一：tan2121.方法二：tan121.题型二应用半角公式求值例2已知sin，且3，求sin，cos，tan.分析已知条件中的角与所求角中的成二倍关系，从而选择半角公式求值解析sin，3，cos.，sin，cos，tan2.归纳提升已知的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得的其他
5、三角函数值；(2)代入半角公式计算即可【对点练习】设2，cos，求：(1)sin的值；(2)cos的值；(3)sin2的值解析(1)2，0，知角是第一或第二象限角，从而必为第一或第三象限角，所以tan的值必然为正上述解法中忽视了sin0，从而为第一或第三象限角这一隐含条件，导致解中的tan有正负两个值另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分sin，cos与tan的值的对应情况，依上述解法，sin，cos与tan的值对应着22222216(组)情况，但实际情况却只有4组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况正解由sin0，知角是第一或第二象限角(
6、1)当是第一象限角时，cos，且为第一或第三象限角，于是当为第一象限角时，sin，cos，tan；当为第三象限角时，sin，cos，tan.(2)当是第二象限角时，cos，且为第一或第三象限角，于是当为第一象限角时，sin，cos，tan3；当为第三象限时，sin，cos，tan3.方法点拨(1)应用公式sin，cos以及tan时，一定要注意根号前的符号是由的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的范围，减少解答中的失误另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性，规范表述，不要给出模糊不清的过程与结果(2)注意等号两边表达式的定义域是否一
7、致学科素养三角恒等变换的综合应用三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点例5已知f(x)(1)sin2x2sin(x)sin(x)(1)若tan2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范围分析(1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子，由tan2，求出sin2与cos2的值，代入f(x)求f()(2)将f(x)化为Asin(x)B的形式，利用正弦函数的图象与性质求解解析(1)f(x)(sin2xsinxcosx)2sin(x)cos(x)sin2xsi
8、n(2x)(sin2xcos2x)cos2x(sin2xcos2x).由tan2，得sin2.cos2.所以，f()(sin2cos2).(2)由(1)得f(x)(sin2xcos2x)sin(2x).由x，得2x.所以sin(2x)1,0f(x).所以f(x)的取值范围是0，归纳提升利用三角恒等变换的解题技巧(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2，cos2化为正切tan，为第(1)问铺平道路(2)把形如yasinxbcosx化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性课堂检测固双基1若cos，是第三象限角，则(A)ABC2D2解析是第
9、三象限角，cos，sin.故选A2若，且sin2，则sin(D)ABCD解析本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式，2，sin0，cos20，cos2，又sin2，sin2，sin，故选D3设3，则化简的结果是(C)AsinBcosCcosDsin解析3，cos0，原式|cos|cos.4设acos6sin6，b2sin13cos13，c，则有(C)AcbaBabcCacbDbcca.故选C5已知tan()2，则的值为(A)ABCD解析tantan()，原式tan，故选A素养作业提技能A组素养自测一、选择题1(2019陕西省西安市段考)的值等于(A)Asin 40Bcos
10、 40Ccos 130Dcos 50解析|cos 130|cos 130sin 40，故选A2若sin()coscos()sin0，则sin(2)sin(2)(C)A1B1C0D1解析因为sin()coscos()sinsin()sin0，所以sin(2)sin(2)2sincos20.3若sin，3，则tancos(B)A3B3C3D3解析因为3，所以cos.因为，所以sin0，cos0，所以sin，cos，所以tan3.所以tancos3.4若tan4，则sin2(D)ABCD解析由4，得4，所以4，sin2.5设34，cosm，那么cos等于(B)ABCD解析由于cos2cos21，可得
11、cos2.又34，所以.所以cos0.所以cos.6.等于(B)AtanBtan2C1D解析原式tan2.二、填空题7已知sin，3，则tan_3_.解析根据角的范围，求出cos后代入公式计算，即由sin，3，得cos，从而tan3.8已知cos2，且，则tan_.解析，tan.9若sin20，cos0，则cossin_sin()_.解析由题可知为第二象限角，且.原式cossincostan()sintan2sin2()2sin21cos()(1cos)sin()三、解答题10求证：.证明左边右边原等式成立11已知为钝角，为锐角，且sin，sin，求cos与tan的值解析因为为钝角，为锐角，s
12、in，sin，所以cos，cos.所以cos()coscossinsin().因为，且0，所以0，即0，所以cos.方法一：由0，得sin，所以tan.方法二：由0，cos()，得sin().所以tan.B组素养提升一、选择题1若AB，则cos2Acos2B的取值范围是(C)A0，B，1C，D0,1解析cos2Acos2B1(cos2Acos2B)1coscos1cos(AB)cos(AB)1coscos(AB)1cos(AB)cos(AB)1,1，cos2Acos2B，2(2019甘肃武威第十八中学单元检测)若，则(D)A2sincosBcos2sinCcosDcos解析，cos0.1sin
13、sin2cos22sincos(sincos)2，(1cos)sin2，(sincos)sincos.3(多选题)下列各式中，值为的是(AC)ABtan15cos215Ccos2sin2D解析A符合，原式tan45；B不符合，原式sin15cos15sin30；C符合，原式cos；D不符合，原式tan60，故选AC4(多选题)下列各式与tan相等的是(CD)ABC(0，)D解析A不符合，|tan|；B不符合，tan；C符合，因为(0，)，所以原式tan；D符合，tan.二、填空题5已知tan，则cos_.解析tan，tan2.，解得cos.6设0，且sin，则tan等于_.解析0，sin，co
14、s.tan，tan(x1).7(sincos)22sin2()的值等于_2_.解析原式1sin21sin1sin2.三、解答题8已知cos(x)且x，求的值解析原式，cosxsinxsin(x)，由x，即x2，知sin(x)0，由cos(x)(cosxsinx)，得cosxsinx，且sin(x)，对cosxsinx两边平方得12sinxcosx.2sinxcosx.原式.9已知在ABC中，sinA(sinBcosB)sinC0，sinBcos2C0，求角A，B，C的大小解析由sinA(sinBcosB)sinC0，得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0，sinAsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0，sinB(sinAcosA)0，B(0，)，sinB0，sinAcosA，A(0，)，A，从而BC.由sinBcos2C0，得sinBcos(2B)0，sinBsin2B0，sinB2sinBcosB0，cosB，B，C.于是A，B，C.
