1、高考资源网（） 您身边的高考专家考点5：三角函数13 假设A型进口车关税率在20典型例题)函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 考场错解 填函数y=函数的最小正周期为T=.最大值为-最小正周期与最大值的和是.专家把脉上面解答错在最小正周期的计算，应结合其图象考虑.对症下荮填 y=作出其图像知原函数的最小正周其为2，最大值为-.故最小正周期和最大值之和为2-.2（典型例题）函数f(x)=sinx+2|sinx|,x（0，2）的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则众的 取值范围是 . 考场错解 填0，3 f(x)= f(x)的值域为(0，3)，f(x)与y=k有交点，
2、k0，3 专家把脉 上面解答求出k的范围只能保证y= f(x)的图像与y=k有交点，但不能保证y=f(x)的图像与y=k有两个交点，如k=1，两图像有三个交点因此，正确的解答要作出了y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解 对症下药 填(1，3)f(x) 作出其图像如图从图5-1中可看出：当1k3时，直线y=k与 yf(x)有两个交点 3(典型例题)要得到函数y=cosx的图像，只需将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的 ( ) A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度 B横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C横坐标伸长到原来的2倍
3、(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 考场错解 B或D将函数y=sin(2x+)的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得函数y=sin(x+)的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y=sin(x+)= cosx的图像故选B 将函数y=sin(2x+)变形为y=sin2(x+)若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y=sin(x+)的图像再向右平行移动 个单位长度后得y=cosx的图像，选D 专家把脉 选B有两处错误，一是若将函数y f(x)=sin(2x+)横坐标缩短到原来的倍，(纵坐标标不变)所得函数y=f(
4、x)= sin(4x+)，而不是f(x)=sin(x+)，二是将函数y=f(x)=sin(x+)向右平行移动得函数y=f(x)=sinx的图像，而不是y= f(x)=cosx的图像因为函数图像变换是针对自变量而言，应该是x变为x-选D同样是两处错误一是横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得函数y=sin(x+)而不是y=sin(x+)由y=sin(x+)的图像向右平移个单位长度得了y=sinx的图像，而不是y=cosx的图像 对症下药 选C 将函数y=sin(2x+)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=sin(x+)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=sin(
5、x+)= cosx的图像故选C 4(典型例题)设函数f(x)=sin(2x+)(-0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=. (1)求； (2)求函数y=f(x)的单调增区间； (3)画出函数y=f(x)在区间0，上的图像 考场错解 (1)x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，sin(2+)=1， + =k+k Z =k+ ，-0， =- (2)由(1)知 =，因此y=sin(2-)最小正周期为T=.由题意得k-2x-k+，kZ 解得 k+xk+，kZ所以函数y=sin(2x-)的单调查递增区间为 专家把脉 以上解答错在第（2）小题求函数单调区间时，令处，因若把看成一个整体u，则y=sin
6、u的周期为2。故应令，解得的x范围才是原函数的递增区间. 对症下药（1）解法1 是函数y=f(x)的图像的对称轴，sin(2+)=1。解法2 x=是y=f(x)图象的对称轴，对任意的x有f(x)=f(-x).令x=0时，有f(0)=f().即sin=sin(+)=cos.即tan=1.又(2)由（1）得,因此，由题意得（3）由知x0y-1010故函数y=f(x)在区间0,上图像是5.（典型例题）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间.考场错解 当时，函数y有最小值-2. 当时，函数单调递增. 函数递增区间是. 专家把脉 上面解答错在求函数的递增区间上，当x0，时，2x-
7、 (-,)函数不为单调函数应先求出函数y=2sin(2x-)在R上的单调递增区间，再求它与区间0，的交集 对症下药 函数y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)故该函数的最小正周期是.当2x-=2k-时，即x=k-时，y有最小值2令2k-2x-2k+，kZ解得k-xk+，kZ令K=0时，-x又0x，0x， K=1时， x 又0x.x.函数y=2sin(2x-)的递增区间是0， ，专家会诊利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值)，应以基本的三角函数图像y= si
8、nx，y=cosx，y=tanx为基础，在研究单调性要注意复合函数(如y=1-sin(x+)，y=sin(-2x)， y=log sin(2x+)的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+， -2x，2x+,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题y=Asin(x+)与y=sinx图像间的关系：由y=sinx图像可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平专家会诊移要注意顺序不同，平移单位也不同 一般地，y=Asib(x+)的图象向左平移a个单位得到y=Asin(x+a)+ 的图象，再把其上所有点的横坐标变为原来的，即得到y=Asinw1+a+的图像考场思维训练 1 已知函数y=tan 在(-,)内是
9、减函数，则 ( ) A01 B-10 C.1 D -1 答案：D解析函数y=tan x在（-）内是减函数，w0，又函数y=tan(-wx)在（）上是增函数，有2 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期为 ( ) A B. C D2 答案： C 解析：f(x)=|sin(x+)|y=sin(x+) 的最小正周期为2，f(x)=|sin(x+)|的最小正周期为.3 当0x时，函数f(x)=的最小值为 ( ) A.2 B2 C4 D. 4答案： C 解析：f(x)=cotx+4tanx0x0，cot x0，f(x)4 化简f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+ 2(xR，kZ)求函
10、数f(x)的值域和最小正周期答案：解析：f(x)=cos(2k+2x)+cos(2k-2x)+2sin(+2x)=2cos(+2x)+2sin(+2x)=4sin(+ +2x)=4sin(+x)=4cos2x f(x)的值域为-4，4；最小正周期为T：=.命题角度2三角函数的恒等变形 1(典型例题)设为第四象限的角，若，则tan2= . 考场错解 填 专家把脉 上面解答错在由cos2=得sin2=时没有考虑角是第四象限角2是第三、四象限角sin2只能取负值因而tan2也只能为负值 对症下药 填-=cos2+2cos2=2cos2+1=cos2=又为第四象限角，即2k+ 2k+2，kZ，4k+3
11、24k+4，kZ 即2为第三、四象限角sin2=- 2(典型例题)已知-x0，sinx+cosx=， (1)求sinx-cosx的值； (2)求的值 考场错解 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+ 2sinxcosx+cos2x=()2，即2sinxcosx=-.(sinx- cosx)2=1-2sinxcosx=. 又-x0，sinx0，sinx-cosx0 sinx-cosx=-(2)=cosxsinx(2+cosx-sinx)=专家把脉 以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)变形时认为2sin2 =1+cosx，用错了公
12、式，因为 2sin2 =1-cosx因此原式化简结果是错误的 对症下药 解法1 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .又- x0，sinx0，sinx-cosx0sinx-cosx= (2)解法2 (1)联立方程由得slnx=-cosx，将其代入，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，cosx=-或(cosx=)- x0，故sinx-cosx=-( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 3(典型例题)已知6sin2+sincos-2cos2=0，求
13、sin(2+)的值 考场错解 由已知得(3sin+2cos)(2sin-cos)=03sin+2cos=0或2sin-cos=0 tan=-或tan=又sin(2+)=sin2cos+cos2sin =sincos+(cos2-sin2)=将tan=-代入上式得sin(2+)=将tan=时代入上式得即专家把脉 上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用，(,)，tan0，tan=应舍去，因此原题只有一解 对症下药 解法1 由已知得(3sin+2cos) (2sin-cos)=03sin+2sin=0或2sin-cps=0由已知条件可知cos20，所以，即(，)于是tan0，tan=sin(2+
14、)=sin2cos+cos2sin 将tan=-代入上式得sin(2+)= 解法2 由已知条件可知cos0，则a，所以原式可化为6tan2+tan-2=0 即(3tan+2)(2tan-1)=0又(,)tan0，cos0，tan(=14 已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx (1)求f()的值；答案：sin(2)设(0，),f()=，求sin的值 答案： 16sin2-4sin-11=0，解得sin=(0，)，sin0，则sin=5 已知函数f(x)=2sin2x+sin2x，x(0，2)求使f(x)为正值的x的集合 答案：解：f(x)=1-cos 2x+sin 2x=1+sin(
15、2x-)， f(x)01+sin(2x-)0 sin(2x-)-+2k2x-+2kkxx0 ()将十字形的面积表示为的函数； ()为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少? 考场错解 设S为十字形的面积，则S=2xy=2sin cos=sin2() (2)当sin2=1即= 时，S最大，S的最大值为1 专家把脉 上面解答错在面积S的计算上，因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为 x的正方形面积 对症下药 (1)设S为十字形的面积，则S=2xy-x2=2sincos-cos2( ) (2)解法1 S=2sincos-cos2=sin2-cos2,其中=1，即2-=时，S最大 当
16、=时，S最大，S的最大值为 解法2 S=2sincos-cos2，S=2cos2- 2sin2+2sincos=2cos2+sin2 令S=0即2cos2+sin2=0， 可解得=arctan(-2)当=arctan(-2)时，S最大，S的最大值为 2(典型例题)若0x3sinx B2x3sinx C2x=3sinx D与x的取值有关考场错解 选A 设f(x)=2x-3sinx，f(x)= 2-3cosx，0x0 f(x)在(0，)上是增函数 f(x)f(0)=0即2x3sinx，选A 专家把脉f(x)=3(-cosx)当0x时，f(x)不一定恒大于0，只有当x(arccos)时 f(x)才大
17、于0因而原函数f(x)在(0，)先减后增函数，因而2x与3sinx的大小不确定 对症下药 选D 设y=(x)=2x-3sinx， y=2-3cosx=3(-cosx)当cosx0当x(0，arcccos)时，y0口P2x3sinx当x(0，arccoss)时，f(x)0即2x3sinx故选D 3(典型例题)设函数f(x)=xsinx(xR)(1)证明f(x+2k)f(x)=2ksinx其中kZ； (2)设x0是f(x)的一个极值点证明f(x0)2=； (3)设f(x)在(0，+)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2，an，证明：an+1-an0是f，(x0)=0的任意正实根即x0 =-tax
18、0，则存在一个非负整数k，使x0(+k，+ k)即x0在第二或第四象限内 由题设条件，a1，a2，an为方程x=-tanx的全部正实根,且满足a1a2a3，an，那么对于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)an+(n-1)，+n an+1+n，则an+1-an0，由式知tan(an-1，-an) 0由此可知an+1-an必在第二象限 an+1-an0是f(x)=0的任意正实根，即x0-tanx0，则存在一个非负整数k，使x0(+k，+k)，即x0在第二或第四象限内由式f(x)=cosx(tanx+x)在
19、第二象限或第四象限中的符号可列表如下：X()f(x)的符号K为奇数-0+K为偶数+0-所以满足f(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点由题设条件，a1,a2，an为方程x=-tanx的全部正实根且满足a1a2an那么对于n=1，2， an+1-an=-(tanan+1-tanan) =-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)an+(n-1)，+nan+1+n，则an+1-an0，由式知tan(an+1-an)0由此可知an+1-an必在第二象限，即an+1-an.综上，an+1-an专家会诊处理与角度有关的应用问题时，可优先考虑三角方法，其一般步骤是：具体
20、设角、构造三角函数模型，通过三角变换来解决另外，有些代数问题，可通过三角代换，运用三角知识来求解有些三角问题，也可转化成代数函数，利用代数知识来求解如前面第2、3题 考场思维训练 1将参数方程(为参数)化为普通方程，所得方程是 答案：解析：(x-1)2+y2=4 由 2 若x2+y2=4，则x-y的最大值是 . 答案：2解析：设x：2cos，y=2sin，则x-y=2(sin-cos)=2sin(-) 当=2k+时,(x-y)max=23 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室如图所示， ABCD是一块边长为50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40米，矩形AGHM就是
21、拟建的健身室，其中C、M分别在AB和AD上，H在EF上，设矩形AGHM的面积为 S，HCF=，请将S表示为的函数，并指出当点H在EF的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少? 答案：解：延长GH交CD于P GHAM，HPCD HCP=HCF=，CH=40， HP=CHsin=40 sin CP=CHcos=40 COS 于是HG=50-40sin，HM=50-40cos, 矩形AGHM的面积S=HGHM =(50-40sin)(50-40cos)(0)整理，得S=10025-20(sin+cos)+16sincos设sin+cos=t，则2sincos=t2-1 0，1t S=10025-
22、20t+8(t2-1)=100(8t2-20t+17)=800(t-)2+450 当t=1时，S有最大值，且S最大值=500 此时，2sincos=0，即 sin 2=0 02,=0或， 当H在EF的端点E或F处时，健身室面积最大，最大面积为500平方米4 已知函数f(x)=sin(1)将f(x)写成Asin(x+)+k的形式并求其图像对称中心的横坐标；答案：解f(x)=sin(x+)+ ， 由sin(x+)=0，即x-=k(kZ) 得x=，kZ 即对称中心的横坐标为，kZ(2)如果ABC的三边。a，b,c成等比数列，且边 b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域答案：解析：(
23、2)由已知b2=ac，cosx= 0xsinsin(x+)1 即f(x)的值域为，1+探究开放题预测预测角度1三角函数的图象和性质 1关于函数f(x)=4sin(2x+)(xR)有下列命题： 由f(x1)=f(x2)，可得x1-x2必是的整数倍；若x1,x2，且2f(x1)=f(x1+x2+)，则x1sin1cos2,sin1cos1sin2，即sin1sin2. 又由1，2，均为锐角，故12. 即x1x2，故对； 由函数y=f(x)的图像可知，所有满足使2x+= k(kZ)且y=0的点，均为函数y=f(x)图像的对称点，x=,4sin(2()+)=0故对 由复合函数的知识可知，y=4sin(
24、-2x+)的递增区间为满足不等式2k+-2x+2k+的 x的集合，故错 综合得只有正确故填 2函数f(x)=2cos2x+ (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当方程f(x)+a=0有解时，求a的取值范围； (3)当cos()=时，求f(x)的值 解题思路 (1)利用辅助角公式，化为一个角的三角函数形式后，用 可求得函数的最小正周期 (2)可转化为求函数的值域问题求解； (3)通过已知条件可求得sin2，cos2的值，再求 f()的值就不难了 解答 (1)f(x)=1+cos2+sin2x=2sin(2x+)+1最小正周期 (2)sin(2x+)=-，要使方程f(x)+a=0有解，则|-
25、|1，得-3a1 (3)预测角度2运用三角恒等变形求值 1若关于x的方程x2-4xSin+tan=0(有两个相同的实根 (1)求a的取值范围； (2)当a=时，求cos(+)的值 解题思路 (1)利有=0可得a表示为的函数，通过来值域即可得a的取值范围 (2)可先通过第(1)问结果求出sin2的值，再运用降幂公式可求得cos2(+)的值，再求cos(+)的值就容易了 解答 (1)=16sin2-4atan=0 ，sin0 故4sin- ， a=4sincos=2sin2，2, 0sin201，0a2 (2)由=2sin2， sin2= cos()= 而2已知(0，)，sin-cos=,求的值
26、解题思路 由已知可求得sin2及tan的值，因此只要把 化为sin-cos，sin2，及tan表示的式子，再代入计算即可 解答 解法1 把sin-cos两边平方得解析2 由已知sin2=且2(,) 3已知cos(-),sin(+)=-且(0，)，()，求sin(+)的值 解题思路 注意已知角与未知角之间的联系，即+=+-(-)- 解答 由已知，()所以预测角度3向量与三角函数的综合 1已知向量a=(2sinx，cosx)，b=(cosx，2cosx)，定义函数f(x)=ab-1 (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间 解题思路 用向量的数量积的坐标运算求出y=f(
27、x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质求解 解答 (1)f(x)=ab-1=sinxcosx+2cos2x- 1=sin2x+cosx=2sin(2x+)(2)令函数f(x)的单调减区间为k+kZ. 2设a=(1+cos，sin)，b=(1-cos，sin)，c=(1，0)(0，)，(，2)，a与b的夹角为1，b与c的夹角为的值解题思路 通过向量的夹角公式找到1、2与、的关系，从而得1-2与-的关系，进而求得 sin的值 解答 根据题意，cos1=3已知a=(sino，cos)，b=(cos，sin)，b+c=(2cos， 0)，ab=,ac=求cos2(+)+tancot的值 解题思路 由
28、b+c的坐标求出c的坐标，再利用向量的数量积的坐标运算公式转化为三角函数关系式，再借助三角函数的恒等变形可求出cos2(+)+tan cot的值解答 设c=(x，y)，b+c=(2cos,0)x=cos,y=sin即c=(cos，-sin) 由ab=，ac=， sincos=cossin=，sin(+)= tancot=5，cos2(+)=1-2sin2(+)=原式=. 考点高分解题综合训练 1 已知x，cos2x=a，则sinx ( ) A B-C D 答案：B 解析：由-x0知sinx0，sin2x=.sinx=-2已知的值为 ( ) A. B. C. D.答案： A 解析：bc BObc
29、 COc6 D6cO 答案： C 解析：由于a=sin 30COS 6-cos 30sin 6=sin 24，b=sin 26，c=sin 25，ac0)的图像与直线y=3在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，且|P3P5|=，则w等于( ) A4 B1 C2 D.答案： C 解析：y=4sin(wx+)cos(wx-) =4cos2(-wx)=2+2cos(-2cosx) =2+2sin2wx，y=3时，sin2wx=， |P3P5|=T=，w=25 已知f()=,则f()取得最大值时的值是 ( ) A BC D答案： B 解析：f(x)=当sin2a=1，即=时f(x)
30、有最大值6 若sin+cos=tan(0)，则( ) 答案： C 解析：0+O,w0)的图像在y轴右侧的第一个最高点为M(2，2)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(0,0) (1)求这个函数的解析式；答案：解：（1）根据题意可知，A=2=6-2=4，T=16，于是w=所以y=2将点M的坐标代入y=2即sin.满足为最小正数解，即.故所求的解析工为y=2(2)此函数可以由y=sinx经过怎样的变换得到?(写出每一个具体变换) y=2sin()11 已知三点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)C(cos，sin)，kZ，若=-1，求的值 答案：解：由=（cos-3,sin）,=(co
31、s,sin-3)得(cos-3)cos+sin(sin-3)=-1sin+cos= 又由式两边平方得1+2sincos=,2sincos=-12 已知向量a= (1)若f(x)=(a+b)2，求f(x)的解析式；答案： f(x)=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=2+(2)求函数f(x)的最大值和最小值； 答案：由x-得x+ 当x+=，即x=-时，函数f(x)取最大值+2；当x+=，即x=时，函数f(x)取最小值为013 已知为第二象限的角，sin=，为第一象限的角，cos=，求tan(2-)的值 答案：解：为第二象限的角，sin=，cos=-.tan=-，又 为第一象限的角，cos=
32、，sin14如图所示，有一农民在自留地建造一个长10 m，深05 m，横截面为等腰梯形的封闭式引水槽侧面材料每平方米造价50元，顶盖材料每平方米造价10元 (1)把建立引水槽的费用y(元)表示为引水槽的侧面与地面所成的角DAE=的函数；答案：作AHCD，垂足为H，则AH=,ADH=AH(AB+CD).即(2)引水槽的侧面与地面所成的角多大时，其材料费最低?最低材料费是多少?(精确到001，1732)答案：等号当且仅当 3tan=cot即tan= =60即当引槽的侧面与地面所成角为60材料费最低为6464元(3)按照题没条件，在引水槽的深度和横截面积及所在的材料不改变的情况下，将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与(2)中所求得的材料费相比较，哪一种设计所用材料费更省?省多少?答案：截面为正方形时，材料费为10=700元 所以横截面为等腰梯形时比横截面为正方形时，材料费用较省，省536元- 23 - 版权所有高考资源网
