1、第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2017浙江，2)椭圆1的离心率是(B)A B CD解析椭圆方程为1，a3，c.e.故选B2抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是(D)A2B2CD1解析由y28x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d1.3已知椭圆1(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|8，弦AB经过焦点F1，则ABF2的周长为(D)A10B20C2D4解析由椭圆定义可知，有|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，ABF2的周长l|AB
2、|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|2a2a4a.由题意可知b225,2c8，c216，a2251641，a，l4，故选D4设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(C)AyxBy2xCyxDyx解析2b2,2c2，b1，c，a2c2b2312，a，故渐近线方程为yx.5已知方程(m3)x2(5m)y2(m3)(5m)，其中mR，对m的不同取值，该方程不可能表示的曲线是(D)A直线B圆C双曲线D抛物线解析由题意，mR，对m的不同取值，该方程不可能出现一次项，故方程不表示抛物线故选D6(2020泰安二模)设双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，
3、F2，P是双曲线上一点，点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF1|PF2|4a，则双曲线的离心率是(D)ABCD解析由题意得，PF1PF2，因此|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，|F1F2|2，(2c)2，e2，e，故选D7(2020天津卷，7)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(D)A1Bx21Cy21Dx2y21解析由题知y24x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x1，而1的渐近线方程为0和0，由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直
4、，得a1，b1，故选D8(2019全国卷理，11)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为(A)ABC2D解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故选A二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对
5、的得3分) 9.(多选题)若方程1表示椭圆，则以下关于k的说法正确的是(BC)A当k(3,4)时，方程表示焦点在x轴上的椭圆B当k(3,4)时，方程表示焦点在y轴上的椭圆C当k(4,5)时，方程表示焦点在x轴上的椭圆D当k(4,5)时，方程表示焦点在y轴上的椭圆解析依题意，得解得3k5且k4.所以k的取值范围是(3,4)(4,5)且当k(3,4)时，k35k，焦点在x轴上，故选BC 10.(多选题)已知方程mx2ny2mn和mxnyp0(其中mn0且m，nR，p0)，它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是(AC)解析由题：mn0且m，nR，p0，方程mx2ny2mn，即1，mxnyp0即y
6、x，斜率，y轴上的截距，A选项，根据椭圆的焦点在x轴上，则nm0，直线斜率10，y轴上的截距n0，直线斜率0不可能，所以B选项不可能；C选项，根据双曲线焦点在x轴上，则n0，m0，y轴上的截距0，n0，与图中不一致，所以该选项不可能故选AC 11.(多选题)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(点A在第一象限)，则下列结论中正确的是(AC)Ax1x2BC若直线l的倾斜角为，则3D若直线的倾斜角为，则|AB|4p解析抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为x，当斜率不存在时，则过焦点的直线的方程为x，则A，B，此时x1x2，故B错
7、误；当斜率存在时，设过焦点的直线方程为yk，联立直线与抛物线方程得消元得k2x2(k2p2p)x0.由韦达定理可得x1x2，x1x2，故A正确；若直线的倾斜角为，则k，x1x27p，|AB|x1x2p8p，故D错误；如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，作BEAM，垂足为E，设|AF|m，|BF|n，则由抛物线的定义得|AM|AF|m，|BN|BF|n，|AB|mn，|AE|mn，若直线l的倾斜角为，则ABE，于是，解得m3n，则3，故C正确；综上，正确的有AC 12.(多选题)如图，两个椭圆1，1，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个判断中正确命题为(B
8、C)AP到F1(4,0)，F2(4,0)，E1(0，4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值B曲线C关于直线yx，yx均对称C曲线C所围区域面积必小于36D曲线C总长度不大于6解析考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆1上，P到F1(4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错；两个椭圆关于直线yx，yx均对称，曲线C关于直线yx，yx均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；半径为3的圆在曲线C所围区域的内部，所以曲线的总长度大于圆的周长6，故D错误三、填空题(本大题共4个小题，每小题5
9、分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_2_.解析由题意可知，抛物线的准线方程为x，因为p0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(，0)；故由可解得p2.14已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_2_.解析如图，由题意不妨设|AB|3，则|BC|2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在RtBMN中，|MN|2c2，故|BN|.由双曲线的定义可得2a|BN|BM|1，而2c|MN|2，所以双曲线的离心
10、率e2.15椭圆1的左右焦点分别是F1，F2，椭圆上有一点P，F1PF230，则三角形F1PF2的面积为_189_.解析椭圆1，a4，b3，c.又P为椭圆上一点，F1PF230，F1、F2为左右焦点，|F1P|PF2|2a8，|F1F2|2，|F1F2|2(|PF1|PF2|)22|F1P|PF2|2|F1P|PF2|cos3064(2)|F1P|PF2|28，|F1P|PF2|.SPF1F2|F1P|PF2|sin30189.故答案为189.16(2020山东潍坊高二期末)给出下列四个命题：已知P为椭圆y21上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|的范围是3,4；已知M是
11、双曲线1上任意一点，F2是双曲线的右焦点，则|MF2|1；已知直线l过抛物线C：x22py(p0)的焦点F，且l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x24y1y20；椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，若静放在点F1的小球(小球的半径忽略不计)从点F1沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，小球经过的路程恰好是4a.其中正确命题的序号为_(请将所有正确命题的序号都填上)解析椭圆y21的a2，b1，c，e，设P的横坐标为m，由焦半径
12、公式可得，则|PF1|PF2|(2m)(2m)4m2，由2m2，可得所求范围是1,4，故错误；已知M是双曲线上任一点，若M在双曲线左支上，可得|MF2|5；若M在双曲线右支上，可得|MF2|1，故正确；已知直线l过抛物线C：x22py(p0)的焦点F，设直线l的方程为ykx，代入抛物线的方程可得x22pkxp20，且l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，可得x1x2p2，y1y2，则x1x24y1y20，故正确；对于，假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，以下分为三种情况：(1)球从A沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2(ac)；
13、(2)球从A沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2(ac)；(3)球从A不沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点C，反弹后经过椭圆的另一个焦点B，再弹到椭圆上一点D，经D反弹后经过点A，此时小球经过的路程是4a.综上所述，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a或2(ac)或2(ac)故错误故答案为.四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2020安徽省安庆市高二调研)求焦点在直线xy20上的抛物线的标准方程解析因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，所以其焦点坐
14、标即为直线xy20与坐标轴的交点，所以其焦点坐标为(2,0)和(0,2)当焦点为(2,0)时，可知其方程中的p4，所以其方程为y28x，当焦点为(0,2)时，可知其方程中的p4，所以其方程为x28y，故所求方程为y28x或x28y.18(本小题满分12分)(20192020学年房山区期末检测)在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，且|BF2|，点C是椭圆E上一点，直线CF2交椭圆于点A.(1)求椭圆E的方程；(2)求ABC的面积解析(1)因为顶点B的坐标为(0，b)，|BF2|，所以|BF2|a，因为点C在椭圆上，所以1，解得b
15、21，故所求椭圆的方程为y21.(2)因为点C的坐标为，点F2的坐标为(1,0)，所以直线CF2的斜率k1，所以直线CF2的方程为yx1，由得，3x24x0，所以或，所以点A的坐标为(0，1)，所以|AB|2，所以SABC2.19(本小题满分12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程解析焦点在x轴上，设椭圆方程为1(ab0)，且c.设双曲线为1(m0，n0)，ma4.因为，所以，解得a7，m3.因为椭圆和双曲线的半焦距为，所以b236，n24.所以椭圆方程为1
16、，双曲线方程为1.焦点在y轴上，椭圆方程为1，双曲线方程为1.20(本小题满分12分)(2020全国卷，19)已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点若|MF|5，求C1与C2的标准方程解析(1)由已知可设C2的方程为y24cx，其中c.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c.由|CD|AB|得4c，即3222.解得2(舍去)，.所以C1的离心率
17、为.(2)由(1)知a2c，bc，故C1：1.设M(x0，y0)，则1，y4cx0，故1.由于C2的准线为xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故x05c，代入得1，即c22c30，解得c1(舍去)，c3.所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y212x.21(本小题满分12分)(2019北京文，19)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点解析(1)由题意，得b21，c1，所以a2b
18、2c22.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为yx1.令y0，得点M的横坐标xM.又y1kx1t，从而|OM|xM|.同理，|ON|.由得(12k2)x24ktx2t220，则x1x2，x1x2.所以|OM|ON|2.又|OM|ON|2，所以22.解得t0，所以直线l经过定点(0,0)22(本小题满分12分)(2018全国卷理，19)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解析(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.
