1、组合增分练9解答题型综合练B组合增分练第13页1.在钝角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=atan B.(1)求A-B的值;(2)求cos 2B-sin A的取值范围.解 (1)由b=atan B得,bcos B=asin B.又由正弦定理得,sin Bcos B=sin Asin B,所以cos B=sin A.又ABC是钝角三角形,所以A-B=.(2)由(1)知cos 2B-sin A=2cos2B-cos B-1=2,又由A,所以0B,0C=-(A+B)=-2B,所以0Bcos B1,又由于函数y=2上单调递增,所以cos 2B-sin A的取值范围为.2.如图
2、,已知在等腰梯形ABCD中,ADBC,BC=2AD=2AB=4,将ABD沿BD折到ABD的位置,使平面ABD平面CBD.(1)求证:CDAB;(2)试在线段AC上确定一点P,使得二面角P-BD-C的大小为45.证明 (1)在ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=4+4+8cos C,在BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=16+4-16cos C.由上述两式可知,BD=2,cos C=,BDCD.又面ABD面CBD,面ABD面CBD=BD,CD面ABD.AB面ABD,ABCD.(2)解法一:存在.P为AC上靠近A的三等分点.取BD的中
3、点O,连接AO,图略.AB=AD,AOBD.又平面ABD平面CBD,AO平面CBD,平面AOC平面BCD,过点P作PQOC于Q,则PQ平面BCD,过点Q作QHBD于H,连接PH.则QH是PH在平面BDC内的射影,PHBD,故PHQ为二面角P-BD-C的平面角.P为AC上靠近A的三等分点,PQ=,HQ=DC=,PHD=45.二面角P-BD-C的大小为45.解法二:由(1)知CDBD,CD平面ABD.以D为坐标原点,以的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),取BD的中点O,连接AO,AB=AD,AOBD.在等腰三角形ABD
4、中,AB=2,BD=2,可求得AO=1,A(,0,1),=(-2,0,0),=(-,0,1),=(-,2,-1).设=,则=(-,2,1-),设n=(x,y,z)是平面PBD的法向量,则即可取n=.易知:平面CBD的一个法向量为m=(0,0,1).由已知二面角P-BD-C的大小为45.|cos|=,解得=或=-1(舍).点P在线段AC靠近A的三等分点处.3.某校举办“中国诗词大赛”活动,某班派出甲、乙两名选手同时参加比赛.大赛设有15个诗词填空题,其中“唐诗”“宋词”和“毛泽东诗词”各5个.每位选手从三类诗词中各任选1个进行作答,3个全答对选手得3分,答对2个选手得2分,答对1个选手得1分,一
5、个都没答对选手得0分.已知“唐诗”“宋词”和“毛泽东诗词”中甲能答对的题目个数依次为5,4,3,乙能答对的题目个数依此为4,5,4,假设每人各题答对与否互不影响,甲乙两人答对与否也互不影响.求:(1)甲、乙两人同时得到3分的概率;(2)甲、乙两人得分之和的分布列和数学期望.解 (1)设事件Ai为甲得分为i分(i=1,2,3),事件Bi为乙得分为i分(i=1,2,3),则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=;又甲、乙两人同时得3分为事件A3B3,则P(A3B3)=.(2)甲、乙两人得分之和的可能取值为2,3,4,5,6,则P(=2)=P(A1B1)=
6、,P(=3)=P(A1B2)+P(A2B1)=,P(=4)=P(A1B3)+P(A2B2)+P(A3B1)=,P(=5)=P(A2B3)+P(A3B2)=,P(=6)=P(A3B3)=.所以的分布列为23456P所以的数学期望为E()=5.导学号168042574.已知椭圆C:=1(ab0)的上、下焦点分别为F1,F2,离心率为,P为C上动点,且满足=(0),|=|,QF1F2面积的最大值为4.(1)求Q点轨迹E的方程和椭圆C的方程;(2)直线y=kx+m(m0)与椭圆C相切且与曲线E交于M,N两点,求的取值范围.解 (1)由椭圆定义,得|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|
7、=2a,所以点Q的轨迹是以F2为圆心,2a为半径的圆.当QF2F1F2时,QF1F2面积最大,所以2c2a=4,得ac=2.又,可得a=2,c=1,所以Q点轨迹E的方程为x2+(y+1)2=16,椭圆C的方程为=1.(2)由得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,=36k2m2-4(3k2+4)(3m2-12)=0,化简得3k2-m2+4=0,所以k2=0.又m0,得m2.设圆心F2(0,-1)到直线MN的距离为d,则d=,所以弦长|MN|=2=2.设点F1(0,1)到直线MN的距离为h,则h=,所以|MN|h=.由m2,得),所以的取值范围为).导学号168042585.已知函数f
8、(x)=x-m(x+1)ln(x+1)(m0)的最大值是0,函数g(x)=x-a(x2+2x)(aR).(1)求实数m的值;(2)若当x0时,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.解 (1)函数f(x)的定义域为(-1,+),f(x)=1-mln(x+1)+1.因为m0,所以f(x)在(-1,+)上单调递减.令f(x)=0,得x=-1,当x(-1,-1)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(-1,+)时,f(x)0,f(x)单调递减.所以,当x=-1时,f(x)max=f(-1)=-1-m=m-1,由m-1=0,得.易知,函数y=ex-1-x在x=1处有唯一零点,所以=1,m=1
9、.(2)令F(x)=f(x)-g(x)=a(x2+2x)-(x+1)ln(x+1),x0,则F(x)=a(2x+2)-ln(x+1)+1,设h(x)=F(x)=a(2x+2)-ln(x+1)+1,则h(x)=2a-.当a0时,h(x)0,F(x)在0,+)上单调递减,则x0,+)时,F(x)F(0)=2a-10,F(x)在0,+)上单调递减,故当x0,+)时,F(x)F(0)=0,与已知矛盾.当0a时,h(x)=2a-,当x时,h(x)0,F(x)在上单调递减,所以F(x)F(0)=2a-10.故F(x)在上单调递减,则当x时,F(x)0,F(x)在0,+)上单调递增,则x0,+)时,F(x)
10、F(0)=2a-10.所以F(x)在0,+)上单调递增,故当x0,+)时,F(x)F(0)=0恒成立.综上,实数a的取值范围是.导学号168042596.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,为直线的倾斜角).以平面直角坐标系O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系.圆的极坐标方程为=2cos ,设直线与圆交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程与的取值范围;(2)若点P的坐标为(-1,0),求的取值范围.解 (1)圆C的极坐标方程为=2cos ,圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,把代入x2+y2-2x=0,得t2-4tcos +3=0,又直线l
11、与圆C交于A,B两点,=16cos2-120,解得cos 或cos -.又由0,),故的取值范围为.(2)设方程t2-4tcos +3=0的两个实数根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义可知,又由|cos |1,的取值范围为.7.(1)已知函数f(x)=|2x-3|-2|x|,若关于x的不等式f(x)|a+2|+2a恒成立,求实数a的取值范围;(2)已知正数x,y,z满足2x+y+z=1,求的最小值.解 (1)因为f(x)=|2x-3|-|2x|(2x-3)-2x|=3,若关于x的不等式f(x)|a+2|+2a恒成立,则3|a+2|+2a,得a.(2)由柯西不等式得(x+2y+z)+(z+3x)(1+)2=2+.当且仅当时取最小值2+.
