1、巩固层知识整合提升层题型探究平面向量的线性运算【例 1】(1)已知向量 a(2，1)，b(3，4)，则 2ab 的结果是()A(7，2)B(1，2)C(1，3)D(7，2)(2)设 D 为ABC 所在平面内一点，则BD 3CD，则()AAD 13AB43ACBAD 43AB13ACCAD 32AB12ACDAD 12AB32AC(1)A(2)D(1)a(2，1)，b(3，4)，2ab2(2，1)(3，4)(4，2)(3，4)(43，24)(7，2)，故选 A.(2)BD 3CD，AD AB3(AD AC)，2AD 3ACAB，AD 32AC12AB.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原
2、则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧字符表示线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则，如ABBCAC；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB OA AB.平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用注意常见结论的应用如ABC 中，点 D 是 BC 的中点，则ABAC2AD.1(1)设向量 a，b 不平行，向
3、量 ab 与 a2b 平行，则实数 _(2)在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC，BNNC.若MN xAByAC，则 x_；y_(1)12(2)12 16(1)因为 ab 与 a2b 平行，所以 abt(a2b)，即 abta2tb，所以t，12t，解得12，t12(2)因为AM 2MC，所以AM 23AC.因为BNNC，所以AN12(ABAC)，所以MN ANAM 12(ABAC)23AC12AB16AC.又MN xAByAC，所以 x12，y16.平面向量的数量积【例 2】(1)设单位向量 m(x，y)，b(2，1).若 mb，则|x2y|_(2)已知两个单位向量 a，b 的夹角 为
4、 60，cta(1t)b，若 bc0，则 t_(1)5(2)2(1)因为单位向量 m(x，y)，则 x2y21.若 mb，则 mb0，即 2xy0.由解得 x215，所以|x|55，|x2y|5|x|5.(2)法一：因为 bc0，所以 bta(1t)b0，即 tab(1t)b20.又因为|a|b|1，60，所以12t1t0，所以 t2.法二：由 t(1t)1 知向量 a，b，c 的终点 A、B、C 共线，在平面直角坐标系中设 a(1，0)，b12，32，则 c32，32.把 a、b、c 的坐标代入 cta(1t)b，得 t2.向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求
5、解，即ab|a|b|cos a，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解2已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3，若向量 b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2_6 b1b2(e12e2)(3e14e2)3e212e1e28e2232111286.向量的夹角及垂直问题探究问题1怎样求两个不共线向量的夹角？提示 对两个不共线向量 a，b，通过平移使它们的起点相同，这两个有公共起点的向量的夹角就是 a 与 b 的夹角2两向量所成的角与两直线所
6、成角的区别是什么？提示 两向量所成的角，不一定是两向量所在的直线所成的角，因为前者的取值范围为0，180，而后者的取值范围为0，90.这一点经常容易混淆，一定要注意3用数量积判断两向量夹角时应注意什么？提示 当 0时，有 ab0，此时 a 与 b 共线且同向，即 ab0，不能说向量的夹角一定为锐角，同理当 180时，有 ab0，但 ab0，不能说向量的夹角一定为钝角【例 3】已知三个点 A(2，1)，B(3，2)，D(1，4).(1)求证：ABAD；(2)若四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值思路探究(1)利用ABAD 0 即可；(2)利用夹角
7、公式 cos ACBD|AC|BD|求解解(1)证明：A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)，AB(1，1)，AD(3，3).ABAD 1(3)130，ABAD，即 ABAD.(2)ABAD，四边形 ABCD 为矩形，ABDC.设 C 点坐标为(x，y)，则DC(x1，y4)，x11，y41，解得x0，y5.点 C 坐标为(0，5).从而AC(2，4)，BD(4，2)，且|AC|2 5，|BD|2 5，ACBD 8816，设AC与BD 的夹角为，则|cos|ACBD|AC|BD|162045.矩形 ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为45.将例 3 中的条件变为OA(3，4)，OB(6，
8、3)，OC(5m，(3m)，试求：(1)若 A、B、C 能构成三角形，求 m 应满足的条件；(2)若ABC 为直角三角形，且A 为直角，求实数 m 的值解(1)若点 A，B，C 能构成三角形，则这三点不共线，OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，(3m)，AB(3，1)，BC(m1，m)，而AB与BC不平行，即3mm1，得 m12，实数 m12时满足条件(2)若ABC 为直角三角形，且A 为直角，则ABAC，而AB(3，1)，AC(2m，1m)，3(2m)(1m)0，解得 m74.1求夹角问题：求向量 a，b 夹角 的步骤：(1)求|a|，|b|，ab；(2)求 cos ab|a|b|(
9、夹角公式)；(3)结合 的范围0，确定 的大小因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.2垂直问题：这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abab0 x1x2y1y20.3向量的模：(1)|a|2a2，|a|a2.(2)若 a(x，y)，则 a2x2y2，|a|x2y2.向量的长度与距离问题【例 4】设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值解 法一：|3a2b|3，9a212ab4b29.又|a|b|1，a
10、b13.|3ab|2(3ab)29a26abb29613112.|3ab|2 3.法二：设 a(x1，y1)，b(x2，y2).|a|b|1，x21y21x22y221.3a2b(3x12x2，3y12y2)，|3a2b|（3x12x2）2（3y12y2）23.x1x2y1y213.|3ab|（3x1x2）2（3y1y2）2916132 3.向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点一般地，求向量的模主要利用公式|a|2a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|x2y2，将它转化为实数问题，使问题得以解决3在ABC 中，已知 A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，则 BC 边的中线 AD 的长是()A2 5B52 5C3 5D72 5B BC 中点为 D32，6，AD 52，5，|AD|52 5.
