1、复数的概念【例1】当实数a为何值时，za22a(a23a2)i，(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z对应的点在直线xy0上解(1)zRa23a20，解得a1或a2.(2)z为纯虚数，即故a0.(3)z对应的点在第一象限，则a0，或a2.a的取值范围是(，0)(2，)(4)依题设(a22a)(a23a2)0，a2.处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是abi(a，bR)的形式时，要通过变形化为abi的形式，以便确定其实部和虚部(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根1(1)若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部
2、为()A0B1C1 D2(2)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1C1 D3(1)A(2)D(1)因为z1i，所以1i，所以z22(1i)2(1i)22i(2i)0.故选A.(2)因为aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.复数的几何意义【例2】(1)(2019全国卷)设z32i，则在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)已知复数z123i，z2abi，z314i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若2，则a_，b_.(1)C(2)310(2)2，14i2(23i)(abi)，即2若i为虚数单位，如图所示的
3、复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AE BF CG DHD点Z(3,1)对应的复数为z，z3i，2i，该复数对应的点的坐标是(2，1)，即H点复数的四则运算【例3】(1)已知是z的共轭复数，若zi22z，则z()A1i B1iC1i D1i(2)已知复数z123i，z2，则等于()A43i B34iC34i D43i(1)A(2)D(1)设zabi(a，bR)，则abi，代入zi22z中得，(abi)(abi)i22(abi)，2(a2b2)i2a2bi，由复数相等的条件得，z1i，故选A.(2)43i.1(变结论)本例题(1)中已知条件不变，则_.i由例题解析知z1i，所以1i.i
4、.2(变结论)本例题(2)中已知条件不变，则z1z2_.iz1z2 i.(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似.(2)复数的除法运算，将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成abi(a，bR)的结构形式. (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化.转化与化归思想【例4】已知z是复数，z2i，均为实数，且(zai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i为实数，y2.又(x2i)(2i)(2x2)(x4)i为实数，x4.z42i，又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限解得2a6.实数a的取值范围是(2,6)一般设出复数z的代数形式，即zxyi(x，yR)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.3已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.解设xabi(a，bR)，则yabi.又(xy)23xyi46i，4a23(a2b2)i46i，或或或或或或
