1、广东省广州市第二中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题本试卷共5页,22小题,满分150分考试时间120分钟一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设集合,集合,则( )ABCD2已知正方形的边长为2,为的中点,则( )AB4C4D23欧拉恒等式:被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”该等式将数学中几个重要的数:自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起,它是在欧拉公式:中,令得到的根据欧拉公式,复平面内对应的点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制
2、了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”,其中正方形内部为“赵爽弦图”,正方形外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点,则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为( )ABCD5在平面直角坐标系中,已知圆,若直线上有且只有一个点满足:过点作圆的两条切线,切点分别为,且使得四边形为正方形,则正实数的值为( )A1BC3D76若,则( )A0B35C70D7我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难人微,数形结合百般好,隔裂分家万事休在数学的学习和研究中,常用函数的图像研究函数的性质,也常用函数的解析
3、式来琢磨函数的图象特征如函数的图象大致为( )ABCD8已知函数有两个极值点、,则的最大值为( )ABCD二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的,全部选对得5分,对而不全得2分,错选得0分)9已知空间中不同直线、和不同平面、,下列命题中是真命题的是( )A若、互为异面直线,则B,若,则C若,则D若,则10已知向量,则下列命题正确的是( )A若,则B若,则C若取得最大值时,则D的最大值为11设数列的前项和为,若为常数,则称数列为“吉祥数列”则下列数列为“吉祥数列”的有( )ABCD12如图,在正方体中,点为的中点,点为上的动点,给出
4、下列说法,其电正确的有( )A可能与平面平行B与所成的最大角为C与一定垂直D与所成的最大角的正切值为三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上)13设复数满足,复数的共轭复数记为,则_14设,则的最小值为_15已知数列的前项和,则数列的前10项和为_16已知双曲线的左焦点为,为双曲线上一点,与双曲线的渐近线平行,且,其中为坐标原点,则双曲线的离心率_四、解答题(本大题共6小题,共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)某市某街道办为了绿植街道两边的绿化带,购进了1000株树苗这批树苗最矮2米,最高米,
5、桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图(如图)(1)试估计这批树苗高度的众数,中位数;(2)现按分层抽样方法从高度在的树苗中任取6株树苗从这6株树苗中任选3株,求3株树苗中至少有一株树苗高度在的概率18(本题满分12分)已知函数只能同时满足以下三个条件中的两个函数的最大值是2;函数的图象可由函数左右平移得到;函数的对称中心与的对称轴之间的最短距离是(1)写出这两个条件的序号(不必说明理由)并求出函数的单调递增区间;(2)已知的内角、所对的边分别为、,满足,点为的中点,且,求的值19(本题满分12分)已知正项数列满足,等比数列满足:,(1)证明数列是等差数列,并求数列,的通项公式;(2)设,求 20
6、(本小题满分12分)如图,在三棱柱中,、分别为、的中点,(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值21(本题满分12分)已知椭圆的离心率为,左右顶点分别为、,右焦点为,为椭圆上异于、的动点,且面积的最大值为(1)求椭圆的方程;(2)设直线与轴交于点,过点作的平行线交轴与点,试探究是否存在定点,使得以为直径的圆恒过定点22(本题满分12分)已知函数(1)讨论的单调性;(2)当时,求实数的取值范围广州市第二中学2020学年第二学期期中考试参考答案高二数学一、单项选择题:BBCACAAD8由题意,函数,可得函数的定义域为,且,设,因为函数有两个极值点、,即在内有两个不等的实数根、,可得,解得,又因为、
7、,可得,则,当且仅当时,等号成立,故的最大值为故选D二、多项选择题9AC10ACD11BC12ACD三、填空题13141516四、解答题17(1)由频率分布直方图得:众数的估计值为,的频率为:,的频率为:,估计这批树苗高度的中位数为:(2)按分层抽样方法,从高度在的树苗中任取6株树苗,则中抽取:株,中抽取:株,从这6株树苗中任选3株,基本事件总数,3株树苗中至少有一株树苗高度在包含的基本事件个数:,3株树苗中至少有一株树苗高度在的概率18解:(1)函数只能同时满足由知,由知,则故由,解得,所以的单调递增区间为,(2),(此处若未结合角的范围,直接写出的值,扣1分)法一:作线段的中点,因为,故因
8、为,即由正弦定理知法二:分别在,中对角运用余弦定理,可得边长,的关系,略19解:(1)各项为正,且,是公差,首项的等差数列,则设等比数列的公比为,则,故,解得,故(2):20(1)证明:连接,为的中点,为的中点,故,平面(2)以为坐标原点,所在的直线分别为,轴,建立如图所示的空间直角坐标系则,则,设平面的法向量,则令,则,则易证平面,故取平面的法向量因为二面角的平面角为锐角,所以 21【解析】(1)由题意知,当在轴时,面积最大,所以又联立,得,所以椭圆的方程为(2)设,其中,则,所以直线的方程为,令,得,即,又,所以直线的方程为,令,得,即,所以,以为直径的圆的方程为:,又,且在糖圆上,所以,
9、代入方程整理得圆的方程为,令,得,所以存在点,使得以以为直径的圆恒过点22【详解】(1)由题知,的定义域为,(对函数求导后由于恒大于0,故对进行正负分类讨论,从而判断函数的单调性)当时,在上恒成立,故在上是增函数:当时,令得,在上有,在上有,在上是减函数,在上是增函数(2)当时,即,(*)令,则若,由(1)知,当时,在上是增函数,故有,即,得,故有(由(1)可判断,此不等式为常见不等式,熟记更利于解题)(当且仅当,即,且时取等号)(根据及基本不等式可知需对和的大小分类讨论)函数在区间上单调递增,(*)式成立若,令,则,当且仅当时等号成立函数在区间上单调递增,使得,则当时,即函数在区间上单调递减,(构造函数,对其求导并根据零点存在性定理判断的单调性),即(*)式不恒成立综上所述,实数的取值范围是