1、3.2.3空间向量与空间角、距离自主预习探新知情景引入同学们可能经常谈论*同学是白羊座的，*同学是双子座的可是你知道十二星座的由来吗？我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为2327，它与天球相交的大圆为“黄道”黄道及其附近的南北宽8以内的区域称为黄道带黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”从春分(节气)点起，每30便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来今天我们研究的问题之一就是二面角的平面角问题新知导学1异面直线所成角异面直线所成的角取值范围是_(0，_，两向量夹角的取值范围是_0，_，设l1与l2是两异面直
2、线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为，由向量夹角的定义及求法知a，b与_相等_或_互补_，cos_.2直线与平面所成的角如图，设l为平面的斜线，lA，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，a，n，则sin|cos|cosa，n|.直线与平面所成的角的取值范围是_.3二面角平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，则二面角l为或.设二面角大小为，则|cos|_|cos|_.由于两条直线所成的角，线面角都不大于直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是_0，_，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余
3、弦的正负来判断，故这是求二面角的难点4点到平面的距离如图所示，已知点B(x0，y0，z0)，平面内一点A(x1，y1，z1)，平面的一个法向量n，直线AB与平面所成的角为，n，则sin|cosn，|cos|.由数量积的定义知，n|n|cos，点B到平面的距离d|sin|cos|_.5异面直线间的距离如图，若CD是异面直线a、b的公垂线，A、B分别为a、b上的任意两点，令向量na，nb，则nCD.则由得，nnnn，nn.|n|n|，|.两异面直线a、b间的距离为d_.6直线到平面的距离设直线a平面，Aa，B，n是平面的法向量，过A作AC，垂足为C，则n，n()nn，|n|n|.直线a到平面的距离
4、d|_.7两平行平面间的距离设n是两平行平面的一个法向量，A、B分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的距离d_.预习自测1在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与BC1所成的角为(C)A45B60C90D135解析如图，连接B1C，则A1DB1C，B1CBC1，异面直线A1D与BC1所成的角为90，故选C2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(C)ABCD解析解法一：连接A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1OB1D1，且平面BDD1B1平面A1B1C1D1，所以C1O平面BDD1B1，连接BO，则BO
5、为BC1在平面BDD1B1上的射影，C1BO即为所求，通过计算得sinC1BO，故选C解法二：以A为原点，AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)、B1(4,0,2)、D(0,4,0)、D1(0,4,2)、C1(4,4,2)，(0,4,2)、(4,4,0)、(0,0,2)，设平面BDD1B1的法向量为n(x，y，z)，则，.取x1，则n(1,1,0)又(0,4,2)设所求线面角为，则sin|cosn，|.3(20192020学年北京市房山区期末检测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABA1A3，则二面角A1BCA的大小为_45_.解析设ADa，以D为原点，
6、DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则平面ABC的法向量m(0,0,1)，A1(a,0,3)，B(a,3,0)，C(0,3,0)，(a,0,0)，(0，3,3)，设平面A1BC的法向量n(x，y，z)， 则，取y1，得n(0,1,1)设二面角A1BCA的大小为，则cos，45，二面角A1BCA的大小为45.故答案为45.4棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为_.解析以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易求平面EFD1B1的法向量n(1,1，)，又(0，0)，d.互
7、动探究攻重难互动探究解疑命题方向异面直线所成的角典例1(1)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成的角的余弦值为(C)ABCD规范解答如图，分别以C1B1、C1A1、C1C为x、y、z轴，建立空间直角坐标系令ACBCC1C2，则A(0,2,2)、B(2,0,2)、M(1,1,0)、N(0,1,0)令为AN，BM所在直线成的角，(1,1，2)，(0，1，2)cos.故选C(2)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E是棱AB上的动点，若异面直线AD1与EC所成角为60，试确定此时动点E的位置规范
8、解答以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系设E(1，t,0)(0t2)，则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，(1,0，1)，(1，t2,0)，根据数量积的定义及已知得：10(t2)0cos60，所以t1，所以点E的位置是AB中点规律总结求异面直线所成的角的常用方法是：(1)作图证明计算；(2)把角的求解转化为向量运算若直线l1、l2的方向向量分别为a、b，l1与l2夹角为，则|cos|.跟踪练习1_(2018全国卷理，9)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角
9、的余弦值为(C)ABCD解析方法1：如图(1)，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1.连接B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DB，由题意，得DB，BB12，DB1.(1)在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B， cosDB1B.故选C方法2：如图(2)，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(2)由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)， (1,0，)，(1,1，
10、)， 1101()22，|2，|， |cos，|.故选C命题方向线面角典例2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值规范解答(1)取AB中点O，连接CO、A1B、A1O，ABAA1，BAA160，BAA1是正三角形，A1OAB，CACB，COAB，COA1OO，AB平面COA1，ABA1C.(2)由(1)知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面ABB1A1，平面ABC平面ABB1A1AB，OC平面ABB1A1，OCOA1，OA、OC、OA1两两相互
11、垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1，0,0)，则(1,0，)、(1，0)、(0，)，设n(x，y，z)是平面CBB1C1的法向量，则，即，可取n(，1，1)，|cosn，|，直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.规律总结求直线与平面所成的角(1)综合几何方法：先找(或作)出线面角，然后通过解直角三角形求基本步骤是作图证明计算(2)向量几何方法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，l与所成的角为，则sin.跟踪练习2_(衡阳市2019届高三联考)如图a，平面四边
12、形BADE中，C为BE上一点，ABC和DCE均为等边三角形，EC2CB2，M，N分别是EC和CB的中点，将四边形BADE沿BE向上翻折至四边形BADE的位置，使二面角DBED为直二面角，如图b所示(1)求证AA平面DMD；(2)求平面AAB与平面DDE所成角的正弦值解析(1)在等边DCE和DCE中，DMCE，DMCE，DMDMM，所以直线CE平面DMD，即直线BE平面DMD，同理可证直线BE平面ANA，故平面DMD平面ANA.又AA平面AAB，从而有AA平面DMD.(2)如图，以M为坐标原点，MD，ME，MD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，易知M(0,0,0)，E(0,
13、1,0)，D(，0,0)，D(0,0，)，B(0，2,0)，A(，0)，A(0，)设平面A AB的一个法向量为m(x，y，z)，由得，令z1，得x1，y，所以平面AAB的一个法向量为m(1，1)同理，设平面DDE的一个法向量为n(x，y，z)，由得，令z1，得x1，y，所以平面DDE的一个法向量为n(1，1)从而|cosm，n|，故平面AAB与平面DDE所成角的正弦值为.命题方向二面角典例3(湖南师大附中20192020学年高二期中)已知AO是圆锥的高，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，E是CD的中点，平面ABC和平面ACD将圆锥截去部分后的几何体如图所示 (1)求证：平面AEO平面A
14、CD；(2)若ACBD2，BC，求二面角BACD的余弦值思路分析(1)连结CO，易证EOCD，AOCD，从而可证明CD平面AEO，进而可证明平面AEO平面ACD；(2)先证明OB，OC，OA两两垂直，进而建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的方法求得二面角BACD的余弦值即可规范解答(1)连结CO，则COOD1，又因为E是CD的中点，所以EOCD.因为AO是圆锥的高，所以AO平面BCD，CD平面BCD，所以AOCD，又AOEOO，所以CD平面AEO，又CD平面ACD，所以平面AEO平面ACD.(2)由已知可得ABADACBD2，所以ABD为正三角形，AO.又因为BC，所以CD，所以COBD
15、.于是分别以OB，OC，OA为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(0,0，)，D(1,0,0)则(1,1,0)，(0，1，)，(1,0,0)设平面ABC的法向量为m(x1，y1，z1)，由得：.令z11，得y1，x1，即m(，1)设平面ACD的法向量为n(x2，y2，z2)，由得：，令z21，得y2，x2，即n(，1)设二面角BACD的大小为，由图可知，则|cos|.故所求二面角BACD的余弦值为.规律总结用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角，都是转化为直线的方向向量或平面的法向量的夹角计算问题，需注意的是异面直线所成
16、的角(0，故两直线的方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值；若直线与平面所成的角，直线的方向向量和平面的法向量夹角为，则其关系为sin|cos|；若二面角为，两平面的法向量夹角为，则|cos|cos|，需分辨角是锐角还是钝角，可由图形观察得出，也可由法向量特征得出跟踪练习3_(合肥市2019届高三教学质量检测)在四棱锥PABCD中，BCBDDC2，ADABPDPB2.(1)若点E为PC的中点，求证：BE平面PAD；(2)当平面PBD平面ABCD时，求二面角CPDB的余弦值解析(1)取CD的中点为M，连接EM，BM.由已知得，BCD为等边三角形，BMCD.ADAB2，BD2，ADBABD30，
17、ADC90，BMAD.又BM平面PAD，AD平面PAD，BM平面PAD.E为PC的中点，M为CD的中点，EMPD.又EM平面PAD，PD平面PAD，EM平面PAD.EMBMM，平面BEM平面PAD.BE平面BEM，BE平面PAD.(2)连接AC，交BD于点O，连接PO，由对称性知，O为BD的中点，且ACBD，POBD.平面PBD平面ABCD，POBD，PO平面ABCD，POAO1，CO3.以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0，0)，C(3,0,0)，P(0,0,1)易知平面PBD的一个法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量为n2(x，y，z)，则n2
18、，n2，(3，0)，(0，1)，.令y，得x1，z3，n2(1，3)，cosn1，n2.设二面角CPDB的大小为，则cos.命题方向异面直线间的距离典例4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离规范解答如图建立坐标系，则A(1,0,0)、A1(1,0,1)、B1(1,1,1)、C1(0,1,1)(0,1,1)，(1,1,0)设MN是直线A1C1与AB1的公垂线，且(0，)，u(u，u,0)，则(u，u,0)(0,0，1)(0，)(u，u，1)所以，即，解得.(，)，|.规律总结求异面直线l与m之间的距离(一)可以找出其公垂线转化为求公垂线段的长度(二)可以设
19、与异面直线都垂直的向量为n，l、m的方向向量e1、e2，则由，可求出n，然后在l、m上各取一个已知点A、B，则距离d，一般后一种方法比前一种方法要简便跟踪练习4_在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN的距离为_.解析如图，分别以AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、C(1,1,0)、N(1,0，)、M(，0,1)，(，0,1)、(0，1，)，设n(x，y，z)，且n，n，nxz0，nyz0，x2z，yz.取z2，则n(4,1,2)，AM与CN的距离d.命题方向线面距典例5已知正方体A
20、BCDA1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别在A1B、B1D1上，且A1EA1B，B1FB1D1.(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求EF与平面ABC1D1的距离d.规范解答(1)证明：建立如图空间直角坐标系Bxyz，易得E、F，故、(a,0,0)、(0，a，a)设n(x，y，z)是平面ABC1D1的法向量由，得，令z1，得n(0，1,1)n(0，1,1)0，n，由于EF平面ABC1D1，故EF平面ABC1D1.(2)解：由(1)得，n(0，1,1)a.da.规律总结求线面之间的距离先确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离转化为直线上一点到平面的距离跟踪练习5_已知正方形ABCD的
21、边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E、F分别为AB、BC的中点求(1)点D到平面PEF的距离；(2)直线AC到平面PEF的距离解析(1)如图，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)、A(1，0,0)、C(0,1,0)、E、F.设DH平面PEF，垂足为H，则xyz(xyz1)，.，xyzxyz0.同理，由得，xyz0.又xyz1，可解得xy，z.(2,2,3)，|.(2)设AH平面PEF，垂足为H，则.设(2,2,3)(2，2，3)(0)，则(2，2，3)，4242920，即.(2,2,3)，|.而AC平面PEF，因此，点D到平面PEF的距离为.AC到平面PEF的距离为.学科核心素养 探索性
22、、存在性问题以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学命题创新的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐，此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立“存在”就是有，找出一个来；如果不存在，需要说明理由这类问题常用“肯定顺推”，求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便典例6如图所示，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段A
23、D上，已知BC8，PO4，AO3，OD2，在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由思路分析建立空间直角坐标系，假设在线段AP上存在点M，巧妙地引入参数(即待定系数)，利用二面角AMCB为直二面角，把点M的探索问题转化为参数的确定，然后通过向量运算来求出的值，使探索问题迎刃而解规范解答以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)，(0，3，4)，(8,0,0)，(4,5,0)，设线段AP上存在点M，使得二面角AMCB为
24、直二面角，则(1)，(4，2,4)(0，3，4)(4，23，44)，设平面BMC的法向量m(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n(x2，y2，z2)，由得即取y11，得向量m(0,1，)，由即得取y24，得向量n(5,4，3)，由mn0，得430，解得，|53.综上所述，存在点M使得二面角AMCB为直二面角，AM的长为3.规律总结解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在如本例，把直二
25、面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数的方程即把与两平面垂直有关的存在性问题一转化为方程有无解问题跟踪练习6_(2019北京理，16)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3.E为PD的中点，点F在PC上，且.(1)求证：CD平面PAD.(2)求二面角FAEP的余弦值(3)设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由解析(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PACD.又因为ADCD，PAADA，所以CD平面PAD.(2)解：过点A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD.建立
26、如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)因为E为PD的中点，所以E(0,1,1)所以(0,1,1)，(2,2，2)，(0,0,2)所以，所以.设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，x1.于是n(1，1,1)又因为平面PAD的一个法向量为p(1,0,0)，所以|cosn，p|.由题知，二面角FAEP为锐角，所以其余弦值为.(3)解：直线AG在平面AEF内理由：因为点G在PB上，且，(2，1，2)，所以，所以.由(2)知，平面AEF的一个法向量n(1，1,1)，所以n0.所以直线AG在平面AE
27、F内易混易错警示 典例7正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图)在图中求平面ABD与平面EFD所成二面角的余弦值错解CDAD，CDBD，ADBD，取D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则D(0,0,0)、A(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0,2，0)、E(0，1)、F(1，0)平面ABD的法向量m(0,1,0)，设平面EFD的法向量为n(a，b，c)，(0，1)，(1，0)，由n0，n0得n(，1，)，cosm，n，平面ABD与平面EFD所成二面角的余弦值为.辨析错解错因一是不注意观察二面角是锐角还是钝
28、角，以确定求出来的余弦值是正还是负，二是计算粗心正解解法一：由已知CDAD，CDBD，ADB就是直二面角ACDB的平面角，ADBD.以D为原点建立空间直角坐标系，如图，则D(0,0,0)、A(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0,2，0)，E、F分别是AC、BC的中点，E(0，1)、F(1，0)设m(x，y，z)是平面DEF的一个法向量则，令y1.得.m(，1，)同理可求得平面ABD的一个法向量n(0,1,0)，|cosm，n|.由图可知，平面ABD与平面EFD所成的二面角为锐二面角，平面ABD与平面EFD所成的二面角的余弦值为.解法二：同方法一建立空间直角坐标系，则可得：(2,0，2)，(1,0，1)，2，ABEF.AB平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD，EF必平行于平面ABD与平面EDF的交线l(即二面角的棱l)，ABl，分别取AB、EF的中点M、N.则M(1,0,1)，N.由(1,0,1)(2,0，2)0.(1,0，1)0.得，DMl，DNl.MDN就是所求二面角的平面角cos，.平面ABD与平面EFD所成的二面角的余弦值为.
