1、第19课利用导数研究函数的最(极)值一、 填空题 1. 函数f(x)=x-ex在区间0,1上的最小值为. 2. 函数y=2x-的极大值是. 3. 函数f(x)=x+2cos x在上的最大值为. 4. (2014杭州模拟)若函数f(x)=x3+ax2+ax(xR)不存在极值点,则a的取值范围是. 5. 若函数f(x)=(x2-3)ex,则f(x)取得极大值时x的值为. 6. 已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若函数f(x)在x=-3时取得极值,则a=. 7. (2014内江模拟)若函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则c的取值范围为. 8. (2014贵池一中)已知f(x)=ax-
2、3lnx,其中a为常数.当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,则函数f(x)在上的最小值是.二、 解答题 9. (2014泗阳中学)设函数f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数,其图象在点(1,f(1)处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f(x)的最小值为-12.(1) 求a,b,c的值;(2) 求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)在-1,3上的最大值和最小值.10. 已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=4x+4.(1) 求a,b的值;(2) 讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.11. (2014泰
3、州模拟)已知函数f(x)=x3-ax2(aR).(1) 若f(1)=3.求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;求f(x)在区间0,2上的最大值.(2) 若当x0,2时,f(x)+x0恒成立,求实数a的取值范围.第19课利用导数研究函数的最(极)值1. 1-e解析:当x0,1时,f(x)=1-ex0恒成立,函数f(x)在区间0,1上单调递减,所以最小值为f(1)=1-e. 2. -3解析:y=2+,令y=0,得x=-1.当x0;当-1x0时,y0c0,由题意可知f=1,解得a=1,故f(x)=x-3lnx,f(x)=,x3,由f(x)=0,得x=2.x,f(x),f(x)的变化情况如
4、下:x2(2,3)f(x)-0+f(x)1-3ln2所以f(x)min=f(2)=1-3ln2.9. (1) 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,所以c=0.因为f(x)=3ax2+b的最小值为-12,所以b=-12,a0,又直线x-6y-7=0的斜率为,因此f(1)=3a+b=-6,所以a=2,b=-12,c=0.(2) 由(1)知f(x)=2x3-12x,所以f(x)=6x2-12.令f(x)0,得x,令f(x)0,得-x0;当x(-2,-ln2)时,f(x)0.故f(x)在(-,-2),(-ln2,+)上单调递增,在(-2,-ln2
5、)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2). 11. (1) f(x)=3x2-2ax,则f(1)=3-2a=3,所以a=0,所以f(x)=x3,所以f(1)=1,f(x)=3x2,f(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.由知f(x)=x3,f(x)=3x20,所以f(x)在0,2上单调递增,所以f(x)在0,2上的最大值为f(2)=8.(2) 由题意知x3-ax2+x0对x0,2恒成立.当x=0时,上式恒成立;当x(0,2时,ax+,因为x+2(当且仅当x=1时取等号),所以a2.综上,实数a的取值范围是(-,2.
