1、第十章 排列组合和二项式定理 小结与复习 (2)教学目的：1正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项公式,灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题.2.会利用二项式定理解决某些整除性问题教学过程：一、知识点：1二项式定理及其特例：（1），（2）.2二项展开式的通项公式： 3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变
2、量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则 二、讲解范例：例1计算: 计算:分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.解： 例2 证明恒等式:分析:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的、取某些特殊值.证明：左边右边引伸:化简 解: 例3 求证能被64整除.分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有的式子.因此,可将化成再进行展开,化简即
3、可证得.证明：多项式展开后的各项含有能被64整除.引伸:求证能被10整除;求除以9的余数.例4. 求的展开式中的系数. 解:利用通项公式,则的通项公式, 的通项公式,令,则或或 从而的系数为引伸:求的展开式中的系数. ( 答案:207 )例5 求的展开式中的常数项和有理项.解:设展开式中的常数项为第项,则 (*)由题意得,解得,所以展开式中的常数项为第7项.由题意可得,即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12故展开式中的有理项为,.三、课堂练习：1.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）A.8种 B.12种 C.16种 D.20种分析：两个面不相邻，只能对面，中间再夹
4、一个面.第一步，正方体两平面相对有3种不同情况，中间可以夹剩下的4个中的任意一个，又有4种不同的情况，这两步都完成，事情完成，用分步计数原理答案选B.2.一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影，若老师不排在两端，则共有_种不同的排法.分析：（法一）、从特殊元素出发，由于数学教师是特殊元素，所以他除了两端外，还有3个位置可排共有种排法，然后排学生共有种排法，由分步计数原理可得答案是72.（法二）从特殊位置出发，由于两端是特殊位置，除数学教师外先从四名学生中选2人排在两端共有种排法，然后剩余的学生及老师排剩余的位置共有A种排法.由分步计数原理可得答案是72.3. 由数字1、2、3、4、5、6、7组
5、成无重复数字的七位数.（1）求有3个偶数相邻的7位数的个数；（2）求3个偶数互不相邻的7位数的个数.答案：用捆绑法可得（1）为720个；用插空法可得（2）为1440个.4. 从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有1位女同志，分别到4个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ）A.100种 B.400种 C.480种 D.2400种解：分两种情况，采取先取后排的思想可得符合要求的选法共有 （种）5. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_种.解：取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，因此宜用间接法：用任意取出四点的组合总数减去这四点共面的取法
6、数.取出四点共面时有三种可能第一类：四点共面于四面体的某一个面时，有4种取法；第二类：由四面体的一条棱上三点及对棱中点所确定的平面有6个；第三类：过四面体中的四条棱的中点，而与另外两条棱平行的平面有3个.故取4个点不共面时的不同取法有6.已知碳元素有3种同位素12C、13C、14C，氧元素也有3种同位素16O、17O、18O，则不同的原子构成的CO2分子有（ ）A.81种 B.54种 C.27种 D.9种解：分步计数原理，先选碳原子，再选第一个氧原子，第二个氧原子.所以（种）7.用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（ ）A.360个 B.180个 C.1
7、20个 D.24个解：因为3+4+5+6=18能被9整除，所以共有=24个.8 .在代数式的展开式中，常数项为_.(答案:15)9.若,则的值为A.1 B.1 C.0 D.2解：题中的，是二项展开式的各项系数而不是各项的二项式系数，它们不等于，令x1或1可得它们的不同形式的代数和，于是可得结论答案选A.10求展开式中各项系数的和.11若,则 , , , .12的展开式中的各项系数之和为 .13设,求:(1)的值;(2)的值.答案：10. 令,得答案: 0 11. -1 12.13.令,得,即.令,得,即,故.四、小结 ：1.二项式定理的应用:证明整除问题.2.通项公式的应用:通项公式是第项,而不是第项;运用通项公式可以求出展开式中任意指定的项或具有某种条件的项 五、课后作业：1 已知的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为14:3,求展开式中的常数项.解:由题意,即,或(舍去) ,由题意得,得,常数项为第3项.引伸:条件变为第5项的系数与的3项的系数之比为56:3,求展开式的中间项.解:由题意,可得,展开式共11项,故展开式的中间项为第6项,即.2.求的展开式中含项的系数.解:二项式,展开式中项的系数分别为：其和为：的展开式中含项的系数为3. 若n是3的倍数，求证：是13的倍数解：令n3k，k是整数，则 .是整数，是13的倍数. 六、板书设计（略） 七、课后记：
