1、 课时训练33 正弦定理、余弦定理【说明】 本试卷满分100分,考试时间90分钟.一、选择题(每小题6分,共42分)1.在ABC中,若a=11,b=,A=60,那么( )A.这样的三角形不存在B.这样的三角形存在且唯一C.这样的三角形存在不唯一,但外接圆面积唯一D.这样的三角形存在不唯一,且外接圆面积不唯一答案:C解析:由于bsinAab,故三角形不唯一,又其外接圆半径为R=为定值,故面积唯一.2.(2010湖南十校联考,6)在ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则ABC的形状( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角
2、三角形答案:D解析:当A=B满足.又当C=90时,(a2+b2)sin(A-B)=c2sin(90-2B)=c2cos2B=c2(cos2B-sin2B)=a2-b2也满足,故选D.3.在ABC中,B=30,AB=2,AC=2,那么ABC的面积是( )A.2 B. C.2或4 D.或2答案:D解析:运用正弦定理及S=ABACsinA求解,注意多解的情况.4.在ABC中,C=60,a+b=2(+1),c=2,则A的度数( )A.45 B.75 C.45或75 D.90答案:C解析:由c2=a2+b2-2abcosC及a+b=2(+1)知ab=,求出a,b后运用正弦定理即可.5.(2010重庆万州
3、区一模,3)已知A、B、C是三角形的三个顶点,2=+,则ABC为( )A.等腰三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.既非等腰三角形又非直角三角形答案:C解析:因c2=bccosA+accosB-abcosC,故c2= c2=a2+b2,即ABC为直角三角形.6.(2010广东惠州一模,5)已知ABC中,|=3,|=4,且=-6,则ABC的面积是( )A.6 B.3 C.3 D.+答案:C解析:因=-|cosC,故cosC=,sinC=,SABC=|sinC=34=3.7.给出下列四个命题,以下命题正确的是( )若sin2A=sin2B,则ABC是等腰三角形sinA=cosB,则ABC是
4、直角三角形若sin2A+sin2B+sin2C2,则ABC是钝角三角形若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则ABC是等边三角形A. B. C. D.答案:B解析:错.当A=30,B=60时,sin2A=sin2B,但ABC不是等腰三角形.错.当A=120,B=30时,sinA=cosB,但ABC不是直角三角形.二、填空题(每小题5分,共15分)8.等腰三角形的两边长为9,14,则底角的余弦值为_.答案:或解析:当底边长为9,则cos=;当底边长为14时,则cos=.9.ABC中,已知BC=3,AB=10,AB边上的中线为7,则ABC的面积等于_.答案:解析:cosB=,si
5、nB=.故SABC=103=.10.在ABC中,若C=60,则=_.答案:1解析:cosC=,a2+b2=c2+ab,=1.三、解答题(1113题每小题10分,14题13分,共43分)11.(2010四川成都外国语学校模拟,17)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且8sin2-2cos2A=7.(1)求角A的大小;(2)若a=,b+c=3,求b和c的值.解析:(1)由B+C=-A,sin=cos,即4cos2-cos2A=,2(1+cosA)-(2cos2A-1)=.4cos2A-4cosA+1=0,cosA=,A=60.(2)cosA=,即b2+c2-3=bc,即(b+c)2-
6、3=3bc.12.已知ABC的外接圆半径为1,且角A、B、C成等差数列,若角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,求a2+c2的取值范围.解析:由A、B、C成等差数列,知B=60.由正弦定理有=2R,有b=2RsinB=2=,即有b2=a2+c2-2arccosB=a2+c2-2ac=a2+c2-ac.即a2+c2=b2+ac3.且有a2+c2=b2+ac3+a2+c26,即a2+c2的范围为(3,6.13.在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求A的大小及的值.解法一:a,b,c成等比数列,b2=ac.又a2-c2=ac-bc,
7、b2+c2-a2=bc.在ABC中,由余弦定理得:cosA=,A=60.在ABC中,由正弦定理得sinB=,b2=bc,A=60,=sin60=.解法二:在ABC中,由面积公式得bcsinA=acsinB.b2=ac,A=60,bcsinA=b2sinB.14.(2010湖南十校联考,16)已知向量m=(sinB,1-cosB),且与向量n=(2,0)所成角为,其中A、B、C是ABC的内角.(1)求角B的大小;(2)求sinA+sinC的取值范围.解析:(1)m=(sinB,1-cosB)与向量n=(2,0)所成角为,=.tan=.又0,=,即B=,A+C=.(2)由(1)得sinA+sinC=sinA+sin(-A)=sinA+cosA=sin(A+),0A,A+,sin(A+)(,1,sin+sinC(,1.当且仅当A=C=时,sinA+sinC=1.