1、3.3导数的综合应用1利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答2不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题3方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数
2、【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)连续函数在闭区间上必有最值()(2)函数f(x)x23x2的极小值也是最小值()(3)函数f(x)x1和g(x)x1都是在x0时取得最小值1.()(4)函数f(x)x2ln x没有最值()(5)已知x(0，)，则sin xx.()(6)若a2，则方程x3ax210在(0,2)上没有实数根()1(2014湖南)若0x1x2ln x2ln x1Beex1eDx2ex1e答案C解析设f(x)exln x(0x1)，则f(x)ex.令f(x)0，得xex10.根据函数yex与y的图像可知两函数图像交点x0(0,1)，因此函数f(x)在(0
3、,1)上不是单调函数，故A，B选项不正确设g(x)(0x1)，则g(x).又0x1，g(x)0.函数g(x)在(0,1)上是减函数又0x1x2g(x2)，x2ex1e.2(2013福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A任意xR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点答案D解析A错，因为极大值未必是最大值B错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图像关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点C错，函数yf(x)与函数yf(x)的图像关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点D对，函数y
4、f(x)与yf(x)的图像关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点3设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B. C. D.答案D解析|MN|的最小值，即函数h(x)x2ln x的最小值，h(x)2x，显然x是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t.4若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件答案C解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y1.(1)解函数f(x)的定义域
5、为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x(0，)时，g(x)0.故g(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g().设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)h(x)综上，当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.思维升华(1)证明f(x)g(x)可转化为证明F(x)f(x)g(x)的最小值大
6、于0，再利用导数求F(x)的最小值(2)对于F(x)f(x)g(x)的最小值，不易求出的情况，也可以通过f(x)，g(x)的最值情况进行证明(如本题中g(x)minh(x)max)证明：当x0,1时，xsin xx.证明记F(x)sin xx，则F(x)cos x.当x(0，)时，F(x)0，F(x)在0，上是增函数；当x(，1)时，F(x)0，所以当x0,1时，F(x)0，即sin xx.记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增当x0时，f(x)1时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，b的取值范围是(1，)思
7、维升华函数零点或函数图像交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围解(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0，解得x.由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)，单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，
8、由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(3,1)题型三生活中的优化问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思维点拨(1)由x5时y11求
9、a；(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系，利用导数求最值解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答
10、当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大思维升华在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)
11、(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20,30)时，V0得x，又x0,2，所以g(x)在区间0，上单调递减，在区间，2上单调递增，所以g(x)ming()，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.5分(2)对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间，2上，函数f(x)ming(x)max.7分由
12、(1)可知在区间，2上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间，2上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间，2上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x0.10分即函数h(x)xx2ln x在区间(，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，)12分温馨提醒(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函
13、数的值域问题方法与技巧1利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用2在讨论方程的根的个数、研究函数图像与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较失误与防范1函数f(x)在某个区间内单调递增，则f(x)0而不是f(x)0，(f(x)0在有限个点处取到)2利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.A组专项基础训练(时
14、间：40分钟)1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图像可能是()答案C解析由函数f(x)在x2处取得极小值，可得f(2)0，且当x(a，2)(a2)时，f(x)单调递减，即f(x)2)时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以函数yxf(x)在区间(a，2)(a2)内的函数值为正，在区间(2，b)(2b0)内的函数值为负，由此可排除选项A，B，D.2(2014课标全国)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)答案D解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，
15、)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而00，即a23a180.a6或a0)在1，)上的最大值为，则a的值为()A. B. C.1 D.1答案D解析f(x)，若a1，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当1x0，f(x)单调递增，当x时，令f(x)，1，不合题意若0)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a_.答案1解析f(x)是奇函数，f(x)在(0,2)上的最大值为1.当x(0,2)时，f(x)a，令f(x)0得x，又a，02.当x0，f(x)在(0，)上单调递增；当x时，f(x)0，即x(0,1时，f(x)kx33x10可化为k.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区
16、间(0，上单调递增，在区间，1上单调递减，因此g(x)maxg()4，从而k4；当xln 21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减22ln 22a单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(
17、1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.10统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解
18、(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，共耗油(403408)17.5(升)因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)(x3x8)x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25.易知h(80)是h(x)在(0,120上的最小值故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升B组专项能力提升(时间：30分钟)11
19、(2014辽宁)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B6，C6，2 D4，3答案C解析当x0时，ax3x24x30变为30恒成立，即aR.当x(0,1时，ax3x24x3，a，amax.设(x)，(x)0，(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6，a6.当x2,0)时，a，amin.仍设(x)，(x).当x2，1)时，(x)0.当x1时，(x)有极小值，即为最小值而(x)min(1)2，a2.综上知6a2.12已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案D解析|f(x)|ax成立由(1)得x(x
20、2)ax在区间(，0上恒成立当x0时，aR；当x0)，则h(x)a(x0)，可知h(x)为减函数当a0时，h(x)0，故h(x)为增函数，所以h(x)h(0)0恒成立；当a1时，因为(0,1)，所以h(x)a0，故h(x)为减函数，所以h(x)h(0)0恒成立，显然不符合题意；当0a0，满足h(x0)ln(x01)ax00成立如a时，取x04，则h(x0)ln 520成立，可知0a1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1时，f(x)0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立解(1)因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa
21、.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)(2)由题意得f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立只要解得ae.15已知f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中e是自然对数的底数，aR.(1)讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)；(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由(1)解a1，f(x)xln x，f(x)1，当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当10，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e上的最小值为1，f(x)min1.又g(x)，当0x0，g(x)在(0，e上单调递增g(x)maxg(e)，在(1)的条件下，f(x)g(x).(3)解假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，则f(x)a.当0e时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，e上单调递增，f(x)minf()1ln a3，ae2，满足条件；当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此时f(x)无最小值综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时f(x)有最小值3.
