1、学案49圆的方程导学目标： 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想自主梳理1圆的定义在平面内，到_的距离等于_的点的_叫圆2确定一个圆最基本的要素是_和_3圆的标准方程(xa)2(yb)2r2 (r0)，其中_为圆心，_为半径4圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是_，其中圆心为_，半径r_.5确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)_；(2)_；(3)_6点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0a)2(y0b
2、)2_r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2_r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2_r2.自我检测1方程x2y24mx2y5m0表示圆的条件是()A.m1Cm Dm12(2011南平调研)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)213点P(2，1)为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是()Axy30 B2xy30Cxy10 D2xy504已知点(0,0)在圆：x2y2axay2a2a10外，则a的取值范围是_5(2011安庆月考)过圆x2y24外一点P(4,2)作圆的切
3、线，切点为A、B，则APB的外接圆方程为_探究点一求圆的方程例1求经过点A(2，4)，且与直线l：x3y260相切于点B(8,6)的圆的方程变式迁移1根据下列条件，求圆的方程(1)与圆O：x2y24相外切于点P(1，)，且半径为4的圆的方程；(2)圆心在原点且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程探究点二圆的几何性质的应用例2(2011滁州模拟)已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P，Q两点，且OPOQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径变式迁移2如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线yx分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线yx分别相切于C、D
4、两点(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度探究点三与圆有关的最值问题例3已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值变式迁移3如果实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求的最大值与最小值1求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度2点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系dr时，点在圆外3本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想(满分：75分)一、选择
5、题(每小题5分，共25分)1(2011重庆)在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5 B10C15 D202(2011合肥期末)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是()Aa Ba0C2a0 D2a05(1)根据题意，选择标准方程或一般方程(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程6.(1)(2)(3)0，圆心坐标为，半径r.方法二如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，kO1M2.又圆心坐标为，O1M的方程为y32，即y2x4.由方程组解得
6、M的坐标为(1,2)则以PQ为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上(01)2(02)2r2，即r25，MQ2r2.在RtO1MQ中，O1M2MQ2O1Q2.2(32)25.m3.半径为，圆心为.变式迁移2解(1)M的坐标为(，1)，M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程为(x)2(y1)21.设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM，则MAx轴，NCx轴，由题意知：M，N点都在COD的平分线上，O，M，N三点共线由RtOAMRtOCN可知，|OM|ON|MA|NC|，即r3，则OC3，则圆N的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求
7、的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y(x)，即xy0，圆心N到该直线的距离d，则弦长为2.例3解题导引与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题解(1)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原
8、点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.变式迁移3解设P(x，y)，则P点的轨迹就是已知圆C：(x3)2(y3)26.而的几何意义就是直线OP的斜率，设k，则直线OP的方程为ykx.当直线OP与圆相切时，斜率取最值因为点C到直线ykx的距离d，所以当，即k32时，直线OP与圆相切即的最大值为32，最小值为32.课后练习区1B圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，由圆的性质可知最长弦|AC|2，最短弦BD恰以E(0,1)为中心，设点F为其圆心，坐标为(1,3)故EF，BD22，S四边形AB
9、CDACBD10.2D3.A4.B5.A6(x1)2y227.(x2)2(y1)228.09解(1)AB的中垂线方程为3x2y150，由解得(3分)圆心为C(7，3)又|CB|，故所求圆的方程为(x7)2(y3)265.(6分)(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得(8分)又令y0，得x2DxF0，由|x1x2|6有D24F36.由解得D2，E4，F8或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0.(12分)10解(1)设txy，则yxt，t可视为直线yxt的纵截距，所以xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最
10、小值，即直线与圆相切时的纵截距由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1，所以xy的最大值为1，最小值为1.(4分)(2)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线方程为ykx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k2或k2，所以的最大值为2，最小值为2.(8分)(3)，即，其最值可视为点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又因为圆心到定点(1,2)的距离为，所以的最大值为1，最小值为1.(12分)11解建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x2y2DxEyF0，由于圆心在y轴上，所以D0，那么方程即为x2y2EyF0.(3分)下面用待定系数法来确定E、F的值因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，于是有方程组(7分)解得F100，E21.这个圆的方程是x2y221y1000.(10分)把点P2的横坐标x2代入这个圆的方程，得(2)2y221y1000，y221y960.P2的纵坐标y0，故应取正值，y3.86(米)所以支柱A2P2的高度约为3.86米(14分)
