1、课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第二章 函数、导数及其应用第三节 函数的奇偶性与周期性 考纲传真 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于_对称f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当
2、 x 取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫做 f(x)的最小正周期f(xT)f(x)最小的正数最小正数1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称()(3)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0
3、)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)2已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是()【导学号：31222032】A13 B.13C.12D12B 依题意 b0，且 2a(a1)，b0 且 a13，则 ab13.3(2015广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin 2xByx2cos xCy2x12xDyx2sin xD A 项，定义域为 R，f(x)xsin 2xf(x)，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为 R，f(x)x2cos xf(x)，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为 R，f(x)2x 12x2x12xf
4、(x)，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为 R，f(x)x2sin x，f(x)x2sin x，因为 f(x)f(x)，且 f(x)f(x)，故为非奇非偶函数4(2016四川高考)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1时，f(x)4x，则 f52 f(2)_.2 f(x)是周期为 2 的奇函数，f52 f12 f12 4 2，f(2)f(0)0，f52 f(2)202.5(教材改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x(1x)，则 x0 时，f(x)_.x(1x)当 x0 时，则x0，f(x)(x)(1x)又 f(x)为奇函数
5、，f(x)f(x)(x)(1x)，f(x)x(1x)函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x32x；(2)f(x)(x1)1x1x；(3)f(x)x2x，x0，x2x，x0.解(1)定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)(x)32(x)x32x(x32x)f(x)该函数为奇函数.4 分(2)由1x1x0 可得函数的定义域为(1,1函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数.8 分(3)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当 x0时，f(x)x2x，则当 x0 时，x0，故 f(x)x2xf(x)；当 x0 时，f(x)x2x，则当 x0 时，x0，故 f(x
6、)x2xf(x)，故原函数是偶函数.12 分规律方法 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断变式训练 1(1)(2014全国卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断函数 f(x)3x2 x23的奇偶性(1)C A：令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x
7、)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A 错B：令 h(x)|f(x)|g(x)，则 h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B 错C：令 h(x)f(x)|g(x)|，则 h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C 正确D：令 h(x)|f(x)g(x)|，则 h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D 错(2)由3x20，x230，得 x23，x 3，3 分即函数 f(x)的定义域为 3，3，从而 f(x)3x2 x230.
8、8 分因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.12 分函数奇偶性的应用(1)(2015全国卷)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_.(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x24x，则 f(x)_.(1)1(2)x24x，x0，0，x0，x24x，x0(1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)0 恒成立，xln(x ax2)xln(x ax2)0 恒成立，xln a0 恒成立，ln a0，即 a1.(2)f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0.又当 x0 时，x0，f(x)x24x.又 f(x)为奇函数，
9、f(x)f(x)，即 f(x)x24x(x0)，f(x)x24x，x0，0，x0，x24x，x0.规律方法 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于 f(x)的方程(组)，从而可得 f(x)的值或解析式变式训练 2 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f(x)2x2xb(b为常数)，则 f(1)()【导学号：31222033】A3 B1C1D3A 因
10、为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0)2020b0，解得 b1，所以当 x0 时，f(x)2x2x1，所以 f(1)f(1)(21211)3.函数的周期性及其应用 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,2)时，f(x)2xx2，则 f(0)f(1)f(2)f(2 017)_.1 009 f(x2)f(x)，函数 f(x)的周期 T2.又当 x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)1，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009
11、.迁移探究 1 若将本例中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)”，则结论如何？解 f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x).5 分故函数 f(x)的周期为 2.8 分由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.12 分迁移探究 2 若将本例中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)1fx”，则结论如何？解 f(x1)1fx，f(x2)f(x1)11fx1f(x).5 分故函数 f(x)的周期为 2.8 分由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.12 分规律方法 1.判断函数的周期只需证明 f(xT)f(x)(T0)便可证明
12、函数是周期函数，且周期为 T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质2函数周期性的三个常用结论：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a，(2)若 f(xa)1fx，则 T2a，(3)若 f(xa)1fx，则 T2a(a0)变式训练 3(2017长沙模拟(一)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)f(x)，且 f(x)1，1x0，1，0 x1，则下列函数值为 1 的是()Af(2.5)Bf(f(2.5)Cf(f(1.5)Df(2)D 由 f(x1)f(x)知 f(x2)f(x1)f(x)，于是 f(x)是以 2 为周期的周期函数，从而 f(2.5)f(0.5)1，
13、f(f(2.5)f(1)f(1)1，f(f(1.5)f(f(0.5)f(1)1，f(2)f(0)1，故选 D.思想与方法1函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0.(2)若 f(x)为偶函数，则 f(|x|)f(x)(3)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性3在解决具体问题时，要注意结论“若 T是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期”的应用易错与防范1判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件应用时要注意函数的定义域并进行检验3判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性课时分层训练（六）点击图标进入
