1、1 第一章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.下列语句是真命题的是()A.这是一棵大树 B.x+y+z=3C.函数 f(x)=x2是增函数D.素数不一定是奇数解析:选项 A 和 B 不是命题;选项 C 是假命题;2 是素数,但不是奇数,故 D 项正确.答案:D2.命题“若 x0,则 ln(x+1)0”的否命题是()A.若 x0,则 ln(x+1)0B.若 x0,则 ab”,则在命题 p 的逆命题、否命题、逆否命题中,错误命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:原命题 p 为真,故其逆否命题为真;p 的逆命题为假,
2、故其否命题也为假,因此错误命题的个数为 2.答案:C4.命题“任意的 x0,-0”的否定是()A.存在 x0,-0C.任意的 x0,-0D.任意的 x0解析:因为命题“任意的 x0,-0”,所以否定是:存在 x0,-0.答案:B5.(2017 北京高考)设 m,n 为非零向量,则“存在负数,使得 m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2 解析:m,n 为非零向量,若存在 0,使 m=n,即两向量反向,夹角是 180,则 mn=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若 mn0,则两向量的夹角为(90,180,并不一
3、定反向,即不一定存在负数,使得m=n,所以“存在负数,使得 m=n”是“mn0,a+b=1 时,=(a+b)()=2+4,故不存在 a,b(0,+),使得 =3,即命题 q 为假命题.答案:D7.已知 f(x)=ln(x2+1),g(x)=()-m,若对任意 x10,3,存在 x21,2,使得 f(x1)g(x2),则实数 m 的取值范围是()A.)B.(-C.)D.(-解析:当 x0,3时,f(x)min=f(0)=0.当 x1,2时,g(x)min=g(2)=-m,由 f(x)ming(x)min,得 0 -m,所以m .故选 A.答案:A8.已知命题p:存在 x(1,2),使得 ex-a
4、0,若 p 是真命题,则实数 a 的取值范围为()A.(-,e)B.(-,eC.(e2,+)D.e2,+)解析:因为 p 是真命题,所以p 是假命题,所以任意 x(1,2),有 ex-a0,即 aex,又 y=ex在(1,2)上的最大值为 e2,所以 ae2.答案:D3 9.已知 p:存在 xR,mx2+10,q:任意 xR,x2+mx+10,若 pq 为假命题,则实数 m 的取值范围为()A.m2B.m-2C.m-2 或 m2 D.-2m2解析:由 p:存在 xR,mx2+10,可得 m0,可得=m2-40,解得-2m2.因为 pq 为假命题,所以 p 与 q 都是假命题.若 p 是假命题,
5、则有 m0;若 q 是假命题,则有 m-2 或m2.故符合条件的实数 m 的取值范围为 m2.答案:A10.已知命题 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a20;命题 q:实数 x 满足 x2-5x+60.若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是()A.1,2B.(1,2)C.(2,+)D.(0,1)解析:设 A=x|x2-4ax+3a20,B=x|x2-5x+60,则 A=x|ax3a,B=x|2x3,因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 BA,所以 所以 1a1”是“不等式 2xa-x 成立”的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是()A.a3B.a4D.aa-x,
6、即 2x+xa,设 f(x)=2x+x,该函数为增函数,由题意知 2x+xa 成立,即 f(x)a 成立能得到x1;反之不成立,因为当 x1 时,f(x)3,所以 a3.答案:A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知命题 p:lg(x2-2x-2)0,命题 q:|-|1,若 p 的否定为真命题,q 为真命题,则实数 x 的取值范围是 .解析:因为 p 的否定为真命题,所以 lg(x2-2x-2)0,则 x2-2x-21,即 x-1 或 x3.因为 q 为真命题,所以由|-|1,得 0 x4.由 -或 得 3x4.答案:3x0 时,x=1 是函数的一个零点,要使
7、函数有且只有一个零点,应使函数 f(x)在(-,0上没有零点,即-2x+a=0 无解,而当 x0 时,01.答案:a0 或 a116.下列命题正确的是 .(写序号)命题“存在 xR,使得 x2+13x”的否定是:“任意 xR,都有 x2+13x”;“函数 f(x)=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为”是“a=1”的必要不充分条件;x2+2xax 在 x1,2上恒成立等价于(x2+2x)min(ax)max在 x1,2上恒成立;“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充要条件是“ab0”.5 解析:对于,特称命题的否定是全称命题,并把结论否定,正确;对于,函数 f(x)=cos2ax-s
8、in2ax=cos 2ax,周期为,则 =,即 a=1,故正确;对于,x2+2xax 在1,2上恒成立,等价条件为 a 在 x1,2上恒成立,故错误;对于,“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充要条件是“ab0,x+2.(3)存在 xx|xZ,log2x2.解(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(2)命题中含有全称量词“任意”,是全称命题,真命题.(3)命题中含有存在量词“存在”,是特称命题,真命题.19.导学号 01844008(本小题满分 12 分)已知命题:“存在实数 xx|-1x1,使等式 x2-x-m=0 成立”是真命题.(1)求实数 m 的取值集合
9、M;(2)设不等式(x-a)(x+a-2)1 时,a2-a,此时集合 N=x|2-ax .当 a1 时,a2-a,此时集合 N=x|ax2-a,则 -解得 a0),求曲线 C 在 x 轴上所截的线段的长度为 1 的充要条件.解必要性:令 y=0,则 x2+Gx+F=0.设 x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|=-=1,则 G2-4F=1.充分性:令 y=0,则 x2+Gx+F=0.设方程的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-G,x1x2=F.因为 G2-4F=1,所以|x1-x2|=-=1.故所求的充要条件是 G2-4F=1.21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lg(a2-
10、1)x2+(a+1)x+1,设命题 p:“f(x)的定义域为 R”;命题 q:“f(x)的值域为 R”.(1)分别求命题 p,q 为真时,实数 a 的取值范围;(2)p 是 q 的什么条件?请说明理由.解(1)命题 p 为真,即 f(x)的定义域是 R,等价于(a2-1)x2+(a+1)x+10 恒成立,等价于 a=-1 或 -解得 a-1 或 a .故实数 a 的取值范围为(-,-1().命题 q 为真,即 f(x)的值域是 R,等价于 u=(a2-1)x2+(a+1)x+1 的值域为(0,+),等价于 a=1 或 -解得 1a ,7 故实数 a 的取值范围为 .(2)由(1)知p:a(-,
11、q:a .而 (-,故p 是 q 的必要不充分条件.22.导学号 01844009(本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f(x)=|2x+3c|在-1,+)上是增加的;命题 q:函数 g(x)=+2 有零点.(1)若命题 p 和 q 均为真命题,求实数 c 的取值范围;(2)是否存在实数 c,使得 p(q)是真命题?若存在,求出 c 的取值范围;若不存在,说明理由.解因为 f(x)=|2x+3c|=-所以 f(x)的递增区间是-).又因为 f(x)在-1,+)上是增加的,所以-1,解得 c .因为函数 g(x)=+2 有零点,所以方程 +2=0 有实数根,即 2x2+cx+2=0 有实数根,因此 c2-160,解得 c4 或 c-4.(1)当命题 p 和 q 均为真命题时,应有 或 -解得 c4.所以 c 的取值范围为4,+).(2)要使 p(q)是真命题,应使 p 真 q 假,因此有 -解得 c4.故存在实数 c,使得 p(q)是真命题,此时 c 的取值范围为 ).
