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2022届高考数学一轮复习 第17讲 排列、组合与二项式定理考点讲义(含解析).doc

上传人:高**** 文档编号:404856 上传时间:2024-05-27 格式:DOC 页数:9 大小:894.50KB
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资源描述

1、排列、组合与二项式定理一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理1、分类加法计数原理:完成一件事情,有类办法,在第类办法中有种不同的方法,在第类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。例1-1一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?【解析】从总体上看,蚂蚁从顶点爬到顶点有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,第一类条,第二类条,第三类条,根据加法原理,从顶点到顶点最近路线共有条。2、分步乘法计数原理:完成一件事情,需要分成个步骤,做第步有种不同的方法,做第步有种不同的方法做第步有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法

2、。例1-2如图,要给地图、四个区域分别涂上种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种? 【解析】按地图、四个区域依次分四步完成,第一步种,第二步种,第三步种,第四步种,根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有。3、理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点:相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题。不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,

3、各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成。4、计数原理的解题步骤(1)指明要完成一件什么事,并依事件特点确定是“分类”还是“分步”;(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数;(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数;(4)作答。5、从个不同元素中,每次取出个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二第位上选取元素的方法都是个,所以从个不同元素中,每次取出个元素可重复排列数。例1-3书架的第层放有本不同的计算机书,第层放有本不同的文艺书,第层放本不同的体育书。(1)从书架上任取本书,有多少种不同的取法

4、?(2)从书架的第、层各取本书,有多少种不同的取法?(3)从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法?【解析】(1)要完成的事是“取一本书”,由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因此是分类问题,应用分类计数原理:从书架上任取本书,有类方法:第类方法是从第层取本计算机书,有种方法,第类方法是从第层取本文艺书,有种方法,第类方法是从第层取本体育书,有种方法,根据分类加法计数原理,不同取法的种数是;(2)要完成的事是“从书架的第、层中各取一本书”,由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分,只有第、层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应用分步计数原理:从书架的第、层各取本书,

5、可以分成个步骤完成:第步从第层取本计算机书,有种方法,第步从第层取本文艺书,有种方法,第步从第层取本体育书,有种方法,根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是;(3)要完成的事是“取本不同学科的书”,先要考虑的是取哪两个学科的书,如取计算机和文艺书各本,再要考虑取本计算机书或取本文艺书都只完成了这件事的一部分,应用分步计数原理,上述每一种选法都完成后,这件事才能完成,因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理:第类方法是本不同的计算机书和本不同的文艺书中各选取本,有种方法,第类方法是本不同的计算机书和本不同的体育书各选取本,有种方法,第类方法是本不同的计算机书和本不同的体育书各选取本,有种方法,

6、根据分类加法计数原理,不同取法的种数是。二、排列1、排列的定义:从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。说明:(1)排列的定义包括两个方面:取出元素,按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:元素完全相同,元素的排列顺序也相同。2、排列数的定义:从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示。3、单一排列问题的解决方法例2-1名同学,其中名男同学,名女同学:(1)站成一排,共有多少种不同的排法?【解析】问题可以看作个元素的全排列。(2)站成两排,前排名同学,后排名同学,

7、共有多少种不同的排法?【解析】根据分步计数原理。(3)站成两排,前排名女同学,后排名男同学,共有多少种不同的排法?【解析】根据分步计数原理。(4)站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?【解析】首先先把甲放在中间的位置,则问题可以看作余下的个元素的全排列。(5)站成三排,前排名同学,中间排名同学,后排名同学,其中甲站在中间排的中间位置,共有多少种不同的排法?【解析】首先先把甲放在中间排的中间位置,则问题可以看作余下的个元素的全排列。(6)站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?【解析】根据分步计数原理:第一步甲、乙站在两端有种,第二步余下的名同学进行全排列有种,共有种排列方

8、法。(7)站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?【解析】解法1(直接法):第一步从(除去甲、乙)其余的名同学中选名同学站在排头和排尾有种方法,第二步从余下的名同学中选名进行排列(全排列)有种方法,一共有种排列方法;解法2(排除法):若甲站在排头有种方法,若乙站在排尾有种方法,若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法,甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有种。(8)站成一排,甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种?【解析】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素,再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法,最后将甲、乙两名同学“松绑”进行排列有种方法,这样的排法一共有种方法。(

9、9)站成一排,名男同学必须站在一起,名女同学也必须站在一起。【解析】先将名女同学“捆绑”在一起看成一个元素,有种情况,再将名男同学“捆绑”在一起看成一个元素,有种情况,这时一共有个整合的后元素,有种情况,一共有排法种数:(种)。(10)站成一排,甲、乙两名同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?【解析】解法一:将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有个元素,丙不能站在排头和排尾,可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾,有种方法,将剩下的个元素进行全排列有种方法,最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法,这样的排法一共有种方法。解法二:将甲、乙两“捆绑”在一起看成一个元素,

10、此时一共有个元素,有种方法,若丙站在排头或排尾有种方法,最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法,丙不能站在排头和排尾的排法有种方法。解法三:将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有个元素,丙不能站在排头和排尾,可以先从其余的四个位置选择共有种方法,再将其余的个元素进行全排列共有种方法,最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法,这样的排法一共有种方法。(11)站成一排,甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种?【解析】解法一:(排除法)七名同学全排,有种可能,甲、乙两名同学相邻,有种可能,则甲、乙两名同学不能相邻=总数-甲、乙两名同学相邻:。解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有种方法,此时他们

11、留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有种方法,一共有种方法。(12)站成一排,甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种?【解析】先将其余四个同学排好有种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法,一共有种。(13)站成一排,名男同学都不能相邻,名女同学也不能相邻的排法共有多少种?【解析】先将名女同学排好有种方法,此时她们留下四个“空”,再将名男同学分别插入这四个“空”有种方法,一共有种。(14)站成一排,甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种?【解析】先将名同学全排有种方法,再将甲、乙两名同学全排有

12、种方法,甲必要站在乙的前面,只需要总数的种方法,一共有种。(15)名同学座圆桌吃饭,只考虑谁挨着谁的排法共有多少种?【解析】把任意一名同学固定在任意一个位置,再把其他名同学往其他位置里全排,有种方法则一共有种方法。三、组合的基本原理1、组合的概念:一般地,从个不同元素中取出()个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。2、组合数的概念:从个不同元素中取出()个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数。用符号表示。3、组合数的性质(1)一般地,从个不同元素中取出个元素后,剩下个元素。从个不同元素中取出个元素的每一个组合,与剩下的个元素的每一个组合一一对应,从个不同

13、元素中取出个元素的组合数,等于从这个元素中取出个元素的组合数,即:。在这里,主要体现:“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。或者从个编号不同的小球中,个白球一个红球,任取个不同小球其不同选法,分二类:一类是含红球选法有;一类是不含红球的选法有。(2)一般地,从、这个不同元素中取出个元素的组合数是,这些组合可以分为两类:一类含有元素,一类不含有。含有的组合是从、这个元素中取出个元素与组成的,共有个;不含有的组合是从、这个元素中取出个元素组成的,共有个。根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质。在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想。例3-1一位教练的足球队共有

14、名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是人。问:(l)这位教练从这名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?【解析】(1)由于上场学员没有角色差异,可以形成的学员上场方案有(种);(2)教练员可以分两步完成这件事情:第一步,从名学员中选出人组成上场小组,共有种选法,第二步,从选出的人中选出名守门员,共有种选法,教练员做这件事情的方法数有(种)。例3-2(1)平面内有个点,以其中每个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有个点,以其中每个点为端点的有向线段共有多少条?【

15、解析】(1)以平面内个点中每个点为端点的线段的条数,就是从个不同的元素中取出个元素的组合数,即线段共有(条);(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内个点中每个点为端点的有向线段的条数,就是从个不同元素中取出个元素的排列数,即有向线段共有(条)。例3-3(1)本不同的书分给甲、乙、丙同学,每人各得本,有多少种不同的分法?(2)从个男生和个女生中选出名学生参加一次会议,要求至少有名男生和名女生参加,有多少种选法?【解析】(1);(2)问题可以分成两类:第一类名男生和名女生参加,有中选法,第二类名男生和名女生参加,有中选法,依据分类计数原理,共有种选法。四、二项式定理1、二

16、项式定理:()。这个公式表示的定理叫做二项式定理,它的右边的多项式叫做的二项展开式,其中的系数(、)叫做二项式系数,式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:。2、二项展开式形式上的特点(1)项数为;(2)各项的次数都等于二项式的幂指数,即与的指数的和为;(3)字母按降幂排列,从第一项开始,次数由逐项减直到零;字母按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增直到;(4)二项式的系数从、一直到、。3、二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即;(2)增减性与最大值:二项式系数:当时,二项式系数是递增的,当时,二项式系数是递减的;当是偶数时,中间的一项取得

17、最大值,当是奇数时,中间两项和相等,且同时取得最大值。(3)各二项式系数的和:的展开式的各个二项式系数的和等于,即。二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即: 。4、杨辉三角形:对于是较小的正整数时,可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理,二项式系数也可以直接用下表计算: 表中有如下规律:“左、右两边斜行各数都是,其余各数都等于它肩上两个数字的和。”类似这样的表,早在我国宋朝数学家杨辉年所著出详解九章算法一书里就已出现,如图叫杨辉三角,由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质,同时当二项式乘方次数不大时,可借助于它直接写出各项的二项式系数。例4-1已知的展开式中的

18、系数为,则的值为( )。A、或B、或C、D、【答案】A【解析】,由得,故选A。例4-2的展开式中的常数项为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】的通项公式为,常数项为或(舍)或,当时,当时,因此常数项为,故选A。例4-3设,则( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】令,右边为,左边把代入,故选A。例4-3已知,求:(1);(2);(3);(4)。【解析】令则;令则;令则;(1)-得:;(2)(-)得:;(3)(+)得:;(4)方法一:;方法二:等于展开式中各项的系数和,令,则。例4-4若的展开式二项式系数和比的展开式二项式系数和大。则在的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项。【解析】由题意知,即,则,。(1)的展开式中第项的二项式系数最大,即,二项式系数最大的项为;(2)设第项的系数的绝对值最大,则,则得即,解得,故系数的绝对值最大的项是第项,。

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