1、第八章 平面解析几何第五节 椭圆1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于_的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距答案常数(大于|F1F2|)1判断正误(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)动点 P 到两定点 A(0，2)，B(0,2)的距离之和为 4，则点 P的轨迹是椭圆()答案：(1)(2)2已知椭圆x225y2161 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 P
2、到另一个焦点的距离为_解析：|PF1|3，|PF1|PF2|10|PF2|7.答案：7知识点二 椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)性质轴长轴 A1A2 的长为_；短轴 B1B2 的长为_标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)焦距|F1F2|_离心率eca_性质a，
3、b，c的关系c2_答案2a 2b 2c(0,1)a2b23(选修 21P49 第 2(1)题改编)已知椭圆 x2m2y210m1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4，则 m 等于()A8B7C6D5解析：因为椭圆 x2m2y210m1 的焦点在 x 轴上所以10m0，m20，m210m，解得 6mb0)因为椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率 e12，所以c1，ca12，a2b2c2，解得a2c2，b23，故椭圆的标准方程为x24 y231.答案：x24 y2315(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点，直线 yb2与椭圆交于 B，C
4、 两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解析：由题意可得 B(32 a，b2)，C(32 a，b2)，F(c,0)，则由BFC90得BFCF(c 32 a，b2)(c 32 a，b2)c234a214b20，化简得 3c 2a，则离心率 eca 23 63.答案：63热点命题突破 02 课堂升华强技提能热点一 椭圆的定义及标准方程【例 1】(1)过椭圆 4x2y21 的一个焦点 F1的直线与椭圆交于 A，B 两点，则 A 与 B 和椭圆的另一个焦点 F2 构成的ABF2的周长为()A2B4C8D2 2(2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|P
5、F1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x28 y261B.x216y26 1C.x24 y221D.x28 y241【解析】(1)因为椭圆方程为 4x2y21，所以 a1.根据椭圆的定义，知ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a4.(2)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由点 P(2，3)在椭圆上知 4a2 3b21.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即 2a22c，ca12，又 c2a2b2，联立4a2 3b21，c2
6、a2b2，ca12得 a28，b26，故椭圆方程为x28y26 1.【答案】(1)B(2)A【总结反思】(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.(1)已知动圆 M 过定点
7、A(3,0)并且与定圆 B：(x3)2y264 相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为()A.x216y27 1B.x27 y2161C.x216y27 1D.x27 y2161(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P为椭圆 C 上的一点，且PF1 PF2.若PF1F2 的面积为 9，则 b_.解析：(1)因为点 A 在圆 B 内，所以过点 A 的圆与圆 B 只能内切，因为 B(3,0)，所以|AB|6.所以|BM|8|MA|，即|MB|MA|8|AB|，所以动点 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，设其方程为x2a2y2b21，又 a4，c3，b27，所以
8、方程为x216y27 1.故选A.(2)由题意知|PF1|PF2|2a，PF1 PF2，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 4c2，所 以(|PF1|PF2|)2 2|PF1|PF2|4c2，所 以2|PF1|PF2|4a24c24b2.所以|PF1|PF2|2b2，所以 SPF1F212|PF1|PF2|122b2b29.所以 b3.答案：(1)A(2)3热点二 椭圆的几何性质考向 1 求椭圆的离心率(或取值范围)【例 2】(2016新课标全国卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P为 C 上一点，且 PFx
9、轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34【解析】设 E(0，m)，则直线 AE 的方程为xaym1，由题意可知 M(c，mmca)，(0，m2)和 B(a,0)三点共线，则mmca m2cm2a，化简得 a3c，则 C 的离心率 eca13.【答案】A考向 2 根据椭圆的性质求值或范围【例 3】(1)(2017安庆模拟)P 为椭圆x216y2151 上任意一点，EF 为圆 N：(x1)2y24 的任意一条直径，则PEPF的取值范围是()A0,15 B5,15C5,21 D(5
10、,21)(2)已知椭圆 C：x24y23 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 C 上的点 A 满足 AF2F1F2，若点 P 是椭圆 C 上的动点，则F1P F2A 的最大值为()A.32B.3 32C.94D.154【解析】(1)PEPF(PN NE)(PN NF)(PN NE)(PN NE)PN 2NE 2|PN|24，因为 ac|PN|ac，即 3|PN|5，所以PEPF的范围是5,21(2)由椭圆方程知 c 431，所以 F1(1,0)，F2(1,0)因为椭圆 C 上点 A 满足 AF2F1F2，则可设 A(1，y0)，代入椭圆方程可得 y2094，所以 y032.设 P(x1，
11、y1)，则F1P(x11，y1)，F2A(0，y0)，所以F1P F2Ay1y0.因为点 P 是椭圆 C 上的动点，所以 3y1 3，F1P F2A 的最大值为3 32.【答案】(1)C(2)B【总结反思】(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x2a2y2b21(ab0)，有axa，byb,0eb0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1(2)(2017安徽淮南一模)椭圆 C：x24 y231
12、 的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P 在椭圆 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是()A.12，34B.12，1C.38，34D.34，1解析：(1)不妨设左焦点为 F2，连接 AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形 AFBF2 的对角线互相平分，所以四边形 AFBF2为平行四边形，所以|AF|BF|BF2|BF|2a4，所以 a2，设 M(0，b)，所以 d45b45b1，所以 e1b2a21b24114 32，又 e(0,1)，所以 e0，32.(2)由题意，得 A1(2,0)，A2(2,0)，设 P(x0，y0)(x02)，则有x204
13、y2031，整理，得 y20 x20434.因为 kPA1 y0 x02，kPA2 y0 x02，所以 kPA1 kPA2 y20 x20434，又 kPA2 2，1，所以 kPA1 38，34，故选 C.答案：(1)A(2)C热点三 直线与椭圆的位置关系【例 4】(2016四川卷)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P(3，12)在椭圆E 上()求椭圆 E 的方程；()设不过原点 O 且斜率为12的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：|MA|MB|MC|MD
14、|.【解】()由已知，a2b.又椭圆x2a2y2b21(ab0)过点 P(3，12)，故 34b214b21，解得b21，所以椭圆 E 的方程是x24y21.()证明：设直线 l 的方程为 y12xm(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组x24 y21，y12xm，得 x22mx2m220，方程的判别式为 4(2m2)，由 0，即 2m20，解得 2mb0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为34，求椭圆 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|
15、，求 a，b.解：(1)根据 a2b2c2 及题设知 Mc，b2a，b2a2c34，得 2b23ac.将 b2a2c2 代入 2b23ac，解得ca12，ca2(舍去)故椭圆 C 的离心率为12.(2)设直线 MN 与 y 轴的交点为 D，由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点，故b2a 4，即 b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y10，则2cx1c，2y12，即x132c，y11.代入 C 的方程，得9c24a2 1b21.将及 a2b2c2 代入得9
16、a24a4a2 14a1.解得 a7，b24a28，故 a7，b2 7.1涉及椭圆定义的题目，要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于 2a”这个特征充分利用定义“回到定义中去”是一个很重要的思想方法2求椭圆方程的方法(1)直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定 a，b 的值，按标准方程写出方程，其中难点为确定 a，b 的值(2)待定系数法：先设出字母系数的方程，根据条件建立字母系数的方程并求解，然后代入所设方程而得方程，其中难点是建立字母系数的方程3离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的 b 用 a，c 表达，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法4直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，把方程组转化成关于 x 或 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解温示提馨请 做：课时作业 52（点击进入）
