1、高考资源网（） 您身边的高考专家1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系(重点、易混点)2会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间(重点)3能借助函数单调性及图象判断零点个数(重点、难点)1通过对函数零点概念的学习，培养数学抽象素养2通过把函数零点问题转化为对应函数图象交点的问题加以解决，培养直观想象素养1函数的零点概念(1)概念：使得f(x0)0的数x0称为方程f(x)0的解，也称为函数f(x)的零点(2)方程、函数、图象之间的关系：函数yf(x)的零点就是函数yf(x)的图象与x
2、轴交点的横坐标，也就是方程f(x)0的解2零点存在定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？提示：不一定如yx21在区间(2，2)上有两个零点，但f(2)f(2)0.1若4是函数f(x)ax22log2x的零点，则a的值等于()A4B4CDD因为4是函数f(x)ax22log2x的零点，所以a422log240，解得a.2对于函数yf(x)，若f(1)f(3)0，则()A方程f(x)0一定有实数解B方程f(x)0一定无实数解C方程f(x)0一定有两实数解D方程f(x)0可
3、能无实数解D函数f(x)的图象在(1，3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1，3)上有实数解3函数f(x)x25x的零点是_0和5令x25x0，解得x10或x25，所以函数f(x)x25x的零点是0和5.求函数的零点【例1】求下列函数的零点(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x).解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)解方
4、程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6.求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点1函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_1或10由(lg x)2lg x0，得lg x(lg x1)0，lg x0或lg x1，x1或x10.判断函数零点所在的区间【例2】已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()A(3，4)B(2，3)C(1，2) D(0，1)思路点拨利用零点存在定理判断Cf(0)10，f(1)10，f(3)230，f(4)590.f(1)f
5、(2)0，此零点一定在(1，2)内确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点存在定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断2函数f(x)exx2的零点所在的区间是()A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)Cf(0)e00210，f(0)f(1)0，f(x)在(0，1)内有零点函数零点的个数问题探究问题
6、1函数零点有时是不易求或求不出来的如f(x)lg xx.但函数值易求，如我们可以求出flg 1，f(1)lg 111.那么能判断f(x)lg xx在区间内有零点吗？提示：能因为f(x)lg xx在区间内是连续的，函数值从变化到1，势必在内某点处的函数值为0.2在探究1中，只利用零点存在定理，能判断函数f(x)lg xx的零点的个数吗？要与什么指示相结合才能判断其零点的个数？提示：只利用零点存在定理，不能判断函数f(x)lg xx的零点的个数，应再利用函数的单调性，才能判断其零点的个数即函数f(x)lg xx在其定义域(0，)内单调递增，所以函数f(x)只有一个零点3根据函数零点的概念，我们知道
7、函数yf(x)的零点就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标在探究1中，我们能方便地做出函数f(x)lg xx的图象来判断其零点的个数吗？若不能，应该如何转化？提示：函数f(x)lg xx的图象不能用手工方便地做出来，应首先令f(x)lg xx0，即lg xx，进而转化为函数ylg x和 yx的图象的交点的个数问题【例3】判断下列函数零点的个数(1)f(x)x2x；(2)f(x)ln xx23.思路点拨(1)(2)法一：转化为两个函数图象交点的个数问题；法二：利用函数零点存在定理和函数的单调性判断解(1)由f(x)0，即x2x0，得40，所以方程x2x0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.
8、(2)法一：函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点从而方程ln xx230只有一个根，即函数yln xx23有一个零点法二：由于f(1)ln 112320，所以f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个1若本例(1)中的函数改为“f(x)x22mx2m1”，且f(x)在区间(1，0)和(1，2)内各有一个零点，求实数m的取值
9、范围解函数f(x)x22mx2m1的零点分别在区间(1，0)和(1，2)内，即函数f(x)x22mx2m1的图象与x轴的交点一个在(1，0)内，一个在(1，2)内，根据图象列出不等式组解得m，实数m的取值范围是.2将本例(2)中的函数改为“f(x)2xlg (x1)2”，试判断零点的个数解法一：f(0)10210，f(x)在(0，1)上必定存在零点又显然f(x)2xlg (x1)2在(1，)上为增函数故函数f(x)有且只有一个零点法二：在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg (x1)的草图由图象知g(x)lg (x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg (
10、x1)2有且只有一个零点判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点(2)画出函数yf(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定yf(x)在(a，b)上零点的个数(4)转化成两个函数图象的交点问题1在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也
11、可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数f(x)x1的零点是x1，而不是(1，0)()(2)设f(x)，由于f(1)f(1)0，所以f(x)在(1，1)内有零点()(3)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0.()(4)若函数f(x)的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)0.(4)错误反例：f(x)x(x1)(x2)，区间为(1，3)，满足条件，但f(x)在(1，3)内有0，1，2三个零点答案(1)(2)(3)(4) 2下列各图象表示的函数中没有零点的是()ABCDD选项D中的函数图象与x轴没有交点，故该函数没有零点3函数f(x)2x的零点所在的区间是()A(1，)BC DBf(1)211，f2220，即ff(1)0，且f(x)的图象在内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是.4若是函数f(x)2x2ax3的一个零点，求f(x)的零点解由f2a30得a5，则f(x)2x25x3，令f(x)0，即2x25x30，解得x1，x21，所以f(x)的零点是和1.- 8 - 版权所有高考资源网
