1、第二章函数单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题中只有一项符合题目要求)1已知A0,1，B1,0,1，f是从A到B的映射，则满足f(0)f(1)的映射有()A3个B4个C5个 D2个答案A解析当f(0)1时f(1)可以是0或1，则有2个映射当f(0)0时，f(1)1，则有1个映射2函数y的定义域为()A(1，)B1，)C(1,2)(2，) D(1,2)3，)答案C解析由ln(x1)0得x10且x11，由此解得x1且x2，即函数y的定义域是(1,2)(2，)3已知f(x)a|xa|(a0)，则“a0”是“f(x)在区间(0,1)内单调递减”的()A充分不必要条件 B
2、必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析f(x)a|xa|(a0)在(0,1)内单调递减的充要条件是a0或a1，故选A.4函数f(x)|log3x|在区间a，b上的值域为0,1，则ba的最小值为()A2 B.C. D1答案B解析由题可知函数f(x)|log3x|在区间a，b上的值域为0,1，当f(x)0时x1，当f(x)1时x3或，所以要使值域为0,1，定义域可以为，3，1,3，1，所以ba的最小值为.故选B.5设f(x)是R上的偶函数，且当x(0，)时，f(x)x(1)，则当x(，0)时，f(x)等于()Ax(1) Bx(1)Cx(1) Dx(1)答案C解析令x0f(x)x
3、(1)x(1)f(x)f(x)x(1)6函数f(x)62x的零点一定位于区间()A(3,4) B(2,3)C(1,2) D(5,6)答案B解析f(1)30，f(2)0，故选B.7已知定义域为R的函数f(x)在(8，)上为减函数，且函数yf(x8)为偶函数，则()Af(6)f(7) Bf(6)f(9)Cf(7)f(9) Df(7)f(10)答案D解析yf(x8)可看作是yf(x)左移8个单位yf(x)关于x8对称，两侧单调性相反8已知函数f1(x)ax，f2(x)xa，f3(x)logax(其中a0，且a1)，在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象，正确的是()答案B解析观察选项，在
4、0a1情况下，对三个函数的图象分析可知，A、C、D均不符合选B.9已知函数f(x)x2axb3(xR)图象恒过点(2,0)，则a2b2的最小值为()A5 B.C4 D.答案B解析f(x)x2axb3的图象恒过点(2,0)，42ab30，即2ab10，则a2b2a2(12a)25a24a15(a)2，a2b2的最小值为.10已知偶函数yf(x)满足条件f(x1)f(x1)，且当x1,0时，f(x)3x，则f(log5)的值等于()A1 B.C. D1答案D解析由f(x1)f(x1)，知f(x2)f(x)，函数yf(x)是以2为周期的周期函数因为log5(2，1)，log52log(0,1)，又f
5、(x)为偶函数且x1,0，f(x)3x，当x0,1时，f(x)3x，所以f(log5)f(log52)f(log)3log3log31，故选D.11已知函数f(x)2xlnx，若an0.1n(其中nN*)，则使得|f(an)2010|取得最小值的n的值是()A100 B110C11 D10答案B解析分析|f(an)2010|的含意，估算2xlnx与2010最接近的整数注意到2101024,21120482010，ln11(2,3)，x11时，2xlnx与2010最接近，于是，0.1n11，n110.12.如图是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成，函数SS(a)(a0)是图形
6、介于平行线y0及ya之间的那一部分面积，则函数S(a)的图形大致为()答案C解析(1)当0a1时，S(a)21aa1(1a)(a3)2(2)1a2时，S(a)2a(3)2a3时，S(a)a(4)a3时，S(a)综上S(a)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知f(x)ax，f(lga)，则a的值为_答案10或10解析alga，两边取10为底的对数得(lga)lga，解得lga1或lga，故a10或a10.14已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(1.5)_.答案2.5解析f(x2)，f(x4)f(x)，故T4，
7、f(1.5)f(1.54)f(2.5)f(2.5)2.5.15某厂有形状为直角梯形的边角料，现从中截取矩形铁片(如图所示)，当矩形面积最大时，矩形的两边x，y分别应为_答案x15，y12解析由三角形相似的性质可得：，16x48020y，y24x.Sxyx(24x)24xx2(x15)2152.当x15，y12时，S最大16用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01，取区间(a，b)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_.(填区间)答案(2,3)解析f(2)f(4)0，f(2)f(3)0，故x0(2,3)三、解答题(本大题共
8、6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)(1)写出f(x)的单调区间；(2)若f(x)16，求相应x的值解析(1)当x0时，f(x)在(0,2上递减，在(2，)上递增综上，f(x)的单调增区间为(2,0)，(2，)，单调减区间为(，2，(0,2(2)当x0时，f(x)16，即(x2)216，解得x6.故所求x的值为6或6.18(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x).(1)求x0时，f(x)的解析式；(2)试证明函数yf(x)(x0)在0,1上为减函数解析(1)任取x0，f(x)是偶函数，f(x)f(
9、x)(x0)(2)任取x1，x20,1，且x1x2，则f(x1)f(x2).当0x1x21时，x1x20，x1x210，xx210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，yf(x)(x0)在0,1上为减函数19(本小题满分12分)已知定义在实数集R上的函数yf(x)满足f(2x)f(2x)(1)若函数f(x)有三个零点，并且已知x0是f(x)的一个零点求f(x)的另外两个零点；(2)若函数f(x)是偶函数，且当x0,2时，f(x)2x1.求f(x)在4,0上的解析式解析(1)由题意，可知f(2x)f(2x)恒成立，即函数图象关于x2对称又因为f(0)0,0关于x2对称的数为4，得f(
10、4)f(0)0.4也是f(x)的一个零点图象关于x2对称且有三个零点，则只有f(2)0.f(x)另外两个零点为2,4.(2)设x2,4，则该区间关于x2对称的区间为0,2x关于x2对称的点为4x，即4x0,2，4x满足f(x)2x1，得f(x)72x.在x0,4时，f(x)又f(x)为偶函数，可得x4,0的解析式为f(x)20已知f(x)x2xk，且log2f(a)2，f(log2a)k(a0，a1)(1)求a，k的值；(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？并求出该最小值解析(1)由题得由(2)得log2a0或log2a1解得a1(舍去)或a2由a2得k2(2)f(logax)f(lo
11、g2x)(log2x)2log2x2当log2x即x时，f(logax)有最小值，最小值为.21(本小题满分12分)某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)将2010年该产品的利润y(万元)表示为m的函数(2)该厂家2010的促销费用为多少万元时，厂家的利润
12、最大分析(1)本题含有多个计算公式：年利润年销售收入总成本；年销售收入年销售量销售价格；总成本产品成本促销费用；销售价格1.5每件产品平均成本；产品成本固定投入再投入；每件产品年平均成本产品成本/年销售量(2)转化为求函数yf(m)的最大值解析(1)由题意可知当m0时，x1(万件)，13k，即k2.x3.由题意，得每件产品的销售价格为1.5(元)，则2010年的利润yx1.5(816xm)48xm48(3)mm28(m0)，即ym28(m0)(2)下面证明当0m3时，函数ym28是增函数设0m1m23，则y1y2(m128)(m228)()(m2m1)(m2m1)(m1m2)1，0m1m23，
13、m1m20,0(m21)(m11)16.1.10.y1y2.当0m3时，函数ym28是增函数同理可证，当m3时，函数ym28是减函数则当m3(万元)时，ymin21(万元)，该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元注：也可用导数法求最值22(12分)(1)已知函数yln(x2xa)的定义域为(2,3)，求实数a的取值范围；(2)已知函数yln(x2xa)在(2,3)上有意义，求实数a的取值范围解(1)据题意，不等式x2xa0的解集为(2,3)，方程x2xa0的两根分别为2和3.a(2)36.(2)据题意，不等式x2xa0的解集x|x2xa0(2,3)，方程f(x)x2xa0的两根分别在(，2和3，)内.a的取值范围为a6.