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2016-2017学年高二数学人教B版必修5学案:2.docx

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资源描述

1、2.2.1等差数列(二)学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识链接在等差数列an中,若已知首项a1和公差d的值,由通项公式ana1(n1)d可求出任意一项的值,如果已知am和公差d的值,有没有一个公式也能求任意一项的值?由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质?预习导引1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d,当d0时,an是关于n的常函数;当d0时,点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点2等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广:在等差数列an中,已知a1,d, am, an(m

2、n),则d,从而有anam(nm)d.(2)项的运算性质:在等差数列an中,若mnpq(m,n,p,qN),则amanapaq.3等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.(2)若an、bn分别是公差为d,d的等差数列,则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数,kN)panqbn公差为pdqd的等差数列(p,q为常数)(3)an的公差为d,则d0an为递增数列;d0,d1,故所求的四个数为2,0,2,4.方

3、法二若设这四个数为a,ad,a2d,a3d(公差为d),依题意,2a3d2,且a(a3d)8,把a1d代入a(a3d)8,得(1d)(1d)8,即1d 28,化简得d24,所以d2或2.又四个数成递增等差数列,所以d0,所以d2,故所求的四个数为2,0,2,4.要点三由递推关系式构造等差数列求通项例3已知数列an满足a1,且当n1,nN时,有,设bn,nN.(1)求证:数列bn为等差数列(2)试问a1a2是否是数列an中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由(1)证明当n1,nN时,224bnbn14,且b15.bn是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知bnb1(n1)d5

4、4(n1)4n1.an,nN.a1,a2,a1a2.令an,n11.即a1a2a11,a1a2是数列an中的项,是第11项规律方法已知数列的递推公式求数列的通项时,要对递推公式进行合理变形,构造出等差数列,需掌握常见的几种变形形式,考查学生推理能力与分析问题的能力跟踪演练3在数列an中,a12,an1an2n1.(1)求证:数列an2n为等差数列;(2)设数列bn满足bn2log2(an1n),求bn的通项公式(1)证明(an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关),故数列an2n为等差数列,且公差d1.(2)解由(1)可知,an2n(a12)(n1)dn1,故an2nn1,所以bn

5、2log2(an1n)2n.要点四等差数列的实际应用例4甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明:从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个请您根据提供的信息说明,求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由(3)哪一年的规模最大?请说明理由解由题干图可知,从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列,记为an,公差为d1,且a11,a62;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为bn,公

6、差为d2,且b130,b610;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn,则cnanbn.(1)由a11,a62,得a21.2;由b130,b610,得b226.所以c2a2b21.22631.2.(2)c6a6b621020c1a1b130,所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了(3)an1(n1)0.20.2n0.8,bn30(n1)(4)4n34(1n6),cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6)2与的距离最近,当n2时,cn最大所以(1)第2年养鸡场的个数为26个,全县出产鸡的总只数是31.2万只;(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了

7、;(3)第2年的规模最大规律方法本题可以按照解析几何中的直线问题求解,但是,如果换个角度,利用构造等差数列模型来解决,更能体现出等差数列这一函数特征这种解答方式的转变,同学们要在学习中体会,在体会中升华跟踪演练4某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?解由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则anan120,(n2,nN),每年获利构成等差数列an,且首项a1200,公差d20,所以ana1(n1)d200(n1)(20)

8、20n220.若an0,则该公司经销这一产品将亏损,由an20n22011,即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损1在等差数列an中,已知a310,a820,则公差d等于()A3B6C4D3答案B解析由等差数列的性质,得a8a3(83)d5d,所以d6.2在等差数列an中,已知a42,a814,则a15等于()A32 B32C35 D35答案C解析由a8a4(84)d4d,得d3,所以a15a8(158)d147335.3在等差数列an中,a4a515,a712,则a2等于()A3 B3C. D答案A解析由数列的性质,得a4a5a2a7,所以a215123.4某市出租车的起步价为10元,即最

9、初的4 km(不含4 km)计费为10元,超出4 km(含4 km)的路程,按1.2元/km的标准计费如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?解根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元所以,我们可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2表示4 km处的车费,公差d1.2.那么当出租车行至14 km处时,n11,此时需要支付车费为a11a110d11.2101.223.2(元)答需要支付车费23.2元1在等差数列an中,当mn时,d为公差公式,利用这个公式很容易求出公差,还可变形为aman(

10、mn)d.2等差数列an中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列3等差数列an中,若mnpq,则anamapaq(n,m,p,qN),特别地,若mn2p,则anam2ap.4在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1、d的方程(组)求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量一、基础达标1已知等差数列an的公差为d(d0),且a3a6a10a1332,若am8,则m为()A12B8C6 D4答案B解析由等差数列性质a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84

11、a832,a88,又d0,m8.2设公差为2的等差数列an,如果a1a4a7a9750,那么a3a6a9a99等于()A182 B78C148 D82答案D解析a3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d)(a972d)(a1a4a97)2d33502(2)3382.3下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an3nd是递增数列;其中的真命题为()Ap1,p2 Bp3,p4Cp2,p3 Dp1,p4答案D解析设ana1(n1)ddna1d,因为d0,所以p1正确;an3nd4dna1d,因4d0,

12、所以是递增数列,p4正确,故选D.4在等差数列an中,若a2a4a6a8a1080,则a7a8的值为()A4 B6C8 D10答案C解析由a2a4a6a8a105a680,a616,a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68.5在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7_.答案20 解析依题意2a19d10,所以3a5a73(a14d)a16d4a118d20.6若a,b,c成等差数列,则二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点的个数为_答案1或2解析a,b,c成等差数列,2bac,4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点个数为1或2.7在

13、等差数列an中,已知amn,anm,求amn的值解方法一设公差为d,则d1,从而amnam(mnm)dnn(1)0.方法二设等差数列的通项公式为ananb(a,b为常数),则得a1,bmn.所以amna(mn)b0.二、能力提升8在等差数列an中,若a3a4a5a6a7450,则a2a8的值等于()A45 B75C180 D300答案C解析a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a55a5450,a590.a2a82a5180.9已知数列an为等差数列且a1a7a134,则tan(a2a12)的值为()A. BC D答案D解析由等差数列的性质得a1a7a133a74,a7.tan(a2a1

14、2)tan(2a7)tantan.10在等差数列an中,a3,a10是方程x23x50的根,则a5a8_.答案3解析由根与系数关系,得a5a8a3a103.11成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数解设这四个数为a3d,ad,ad,a3d,则由题设得解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12在正项数列an中,a11,an1an.(1)数列是否为等差数列?说明理由(2)求an.解(1)an1an,an1an,()(),1,是等差数列,公差为1.(2)由(1)知是等差数列,且d1,(n1)d1(n1)1n,ann2.三、探究与创新13已知数列an,满足a12,an1.(1)数列是否为等差数列?说明理由(2)求an.解(1)数列是等差数列,理由如下:a12,an1,即是首项为,公差为d的等差数列(2)由上述可知(n1)d,an.

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