1、章末质量检测(一)空间向量与立体几何一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1以下四组向量:a(1,2,1),b(1,2,1);a(8,4,0),b(2,1,0);a(1,0,1),b(3,0,3);a,b(4,3,3)其中互相平行的是()A BC D2已知向量a(2,3,5)与b(4,x,y)平行,则x,y的值为()A6和10 B6和10C6和10 D6和103在四面体OABC中,点P为棱BC的中点设a,b,c,那么向量用基底a,b,c可表示为()Aabc BabcCabc D.abc4正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与
2、平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.5已知长方体ABCDA1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是()AAD1B1CBBD1C.AD1DBD16已知A(4,6,1),B(4,3,2),则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是()A(0,1,6) B(1,2,1)C(15,4,36) D(15,4,36)7四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1),则PA与底面ABCD的关系是()A相交 B垂直 C不垂直 D成60角8已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE与平面SBC所成的角的余弦值为()A.
3、B. C. D.9如图所示,在四面体PABC中,PC平面ABC,ABBCCAPC,那么二面角BAPC的余弦值为()A. B.C. D.10已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是边AB,AD的中点,GC垂直于正方形ABCD所在平面,且GC2,则点B到平面EFG的距离为()A3 B. C. D.11已知四棱锥OABCD中,a,b,c,点M在OA上,且OM2MA,N为BC中点,则()A.abc B.abcCabc D.abc12将正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角,点C到达点C1,则异面直线AB与C1D所成角是()A90 B60 C45 D30二、填空题(本大题共4个小题,每小题
4、5分,共20分把答案填在题中的横线上)13若a(2,3,5),b(3,1,4),则|a2b|_.14在空间直角坐标系中,已知a(2,1,3),b(4,2,x)若ab,则x_. 15如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为ABC的重心,E是BD上一点,BE3ED,以,为基底,则_.16已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是A1B1的中点,则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为_三、解答题(本大题共6个小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)在四棱锥PABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BAD90,ADBC,ABBCa,AD2
5、a,且PA底面ABCD,PD与底面成30角(1)若AEPD,E为垂足,求证:BEPD;(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值18(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,ADDCAP2,AB1,点E为棱PC的中点(1)证明:BEDC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(3)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求二面角FABP的余弦值19(12分)如图,在三棱锥PABC中,PAPBAB2,BC3,ABC90,平面PAB平面ABC,D,E分别为AB,AC中点(1)求证:DE平面PBC;(2)求证:ABPE;(3)求二面角A PB E的大小20(12分)如
6、图,已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90,ABBCPBPC2CD2,侧面PBC底面ABCD,O是BC的中点,AO交BD于E.(1)求证:PABD;(2)求二面角PDCB的大小;(3)求证:平面PAD平面PAB.21(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ADCD,ADBC,PAADCD2,BC3.E为PD的中点,点F在PC上,且.(1)求证:CD平面PAD;(2)求二面角FAEP的余弦值;(3)设点G在PB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由22(12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CC1平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1
7、C1,CC1的中点,ABBC,ACAA12.(1)求证:AC平面BEF;(2)求二面角BCDC1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BCD相交章末质量检测(一)空间向量与立体几何1解析:因为a(1,2,1)b(1,2,1),所以ab;a(8,4,0),b(2,1,0),a4b,所以ab;a(1,0,1),b(3,0,3),ab,所以ab;a,b(4,3,3),ab,所以ab,因此选D.答案:D2解析:因为向量a(2,3,5)与b(4,x,y)平行,所以解得x6,y10.答案:B3解析:由向量减法的三角形法则可知,因为P为棱BC的中点,由向量加法的平行四边形法则可知(),所以()abc.故B正确
8、答案:B4.解析:不妨设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1)平面ACD1的法向量为DB1(1,1,1),又BB1(0,0,1),则cosDB1,BB1.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 .答案:D5解析:当长方体的侧面AA1D1D与BB1C1C为正方形时,AD1B1C,所以AD1B1C0;当长方体的底面为正方形时,BD1,所以BD10;由长方体的性质知AB平面AA1D1D,所以AD1,所以AD10;无论长方体具体何种结构,都不可能有BD1,也就不可能有BD10,故选D.答案:D6解析:设法向量为(x,y,z),则解得令y4,
9、则得法向量为(15,4,36)答案:D7解析:0,0,PAAB,PAAD.又ABADA,PA平面ABCD.答案:B8解析:设AE与平面SBC所成的角为,以底面中心O为原点,以射线OA为x轴正半轴,以射线OB为y轴正半轴,以射线OS为z轴正半轴,建立空间直角坐标系,设底面边长为,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,0,0),S(0,0,1),E,所以(1,1,0),(0,1,1),设平面SBC的法向量为n(x,y,z),则即令x1,所以n(1,1,1)因为cos,所以cos .故选B.答案:B9解析:如图所示,作BDAP于D,作CEAP于E.设AB1,则易得CE,EP,PAPB,可以求
10、得BD,ED.因为,所以2222222,所以,所以cos,由图知,二面角BAPC的余弦值为.故选C.答案:C10解析:如图,建立空间直角坐标系,则B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),(2,4,2),(4,2,2),设n(x,y,z)是平面EFG的一个法向量,则即令x1,则y1,z3,则n(1,1,3),而(2,0,0),故d.答案:D11解析:()()abc.答案:C12.解析:方法一:如图,则ABCD,所以C1D与CD所成的角即为异面直线AB与C1D所成角,设正方形边长为2,则OCOC1,所以CC12,所以CC1D为等边三角形,故异面直线AB与C1D所成角
11、是60.方法二:设正方形边长为2,则OAOBOCODOC1,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0),B(,0,0),C1(0,0,),D(,0,0)所以(,0),DC1(,0,),所以cos,故异面直线AB与C1D所成角是60.答案:B13解析:a2b(8,5,13),|a2b|.答案:14解析:因为ab,所以ab2(4)(1)23x0,解得x.答案:15解析:连接AE,则().答案:16解析:如图,建立空间直角坐标系,(0,1,0),AD1(1,0,1),.设平面ABC1D1的法向量为n(x,y,z),由可解得n(1,0,1)设直线AE与平面ABC1D1所成的角为,则sin .答案:1
12、7解析:(1)证明:PA平面ABCD,PAAB.又ABAD,PAADA,AB平面PAD,ABPD.又AEPD,ABAEA,PD平面ABE,故BEPD.(2)以A为原点,AB,AD,AP所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则点C,D的坐标分别为(a,a,0),(0,2a,0)PA平面ABCD,PDA是PD与底面ABCD所成的角,PDA30.于是,在RtAED中,由AD2a,得AEa.过E作EFAD,垂足为F,在RtAFE中,由AEa,EAF60,得AF,EFa,E.于是,(a,a,0)设与的夹角为,则由cos .AE与CD所成角的余弦值为.18解析:依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图
13、),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)由E为棱PC的中点,得E(1,1,1)(1)证明:向量(0,1,1),(2,0,0),故0,所以BEDC.(2)向量(1,2,0),(1,0,2)设n(x,y,z)为平面PBD的法向量,则即不妨令y1,可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn,.所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)向量(1,2,0),(2,2,2),(2,2,0),(1,0,0)由点F在棱PC上,设,01.故(12,22,2)由BFAC,得0,因此,2(12)2(22)0,解得.即.设n1(x,y,z)为平面FAB的法
14、向量,则即不妨令z1,可得n1(0,3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)则cosn1,n2.易知,二面角FABP是锐角,所以其余弦值为.19解析:(1)证明:D,E分别为AB,AC中点,DEBC.又DE平面PBC,BC平面PBC,DE平面PBC.(2)证明:连接PD,PAPB,D为AB中点,PDAB.DEBC,BCAB,DEAB.又PDDED,PD平面PDE,DE平面PDE,AB平面PDE,又PE平面PDE,ABPE.(3)平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABCAB,PDAB,PD平面ABC.如图,以D为原点建立空间直角坐标系,B(1,0,0),P(0,0
15、,),E,(1,0,),.设平面PBE的法向量n1(x,y,z),令z,得n1(3,2,)DE平面PAB,平面PAB的法向量为n2(0,1,0)设二面角APBE的大小为,由图知,cos |cosn1,n2|,60,二面角APBE的大小为60.20解析:解法一:(1)证明:PBPC,POBC.又平面PBC平面ABCD,平面PBC平面ABCDBC,PO平面ABCD.在梯形ABCD中,可得RtABORtBCD,BEOOABDBADBCDBA90,即AOBD.PA在平面ABCD内的射影为AO,PABD.(2)DCBC,且平面PBC平面ABCD,DC平面PBC.PC平面PBC,DCPC,PCB为二面角P
16、DCB的平面角PBC是等边三角形,PCB60,即二面角PDCB的大小为60.(3)证明:取PB的中点N,连接CN.PCBC,CNPB,ABBC,且平面PBC平面ABCD,AB平面PBC.AB平面PAB,平面PBC平面PAB.由,知CN平面PAB.取PA的中点M,连接DM,MN,则由MNABCD,MNABCD,得四边形MNCD为平行四边形,CNDM,DM平面PAB.DM平面PAD,平面PAD平面PAB.解法二:取BC的中点O,因为PBC是等边三角形,由侧面PBC底面ABCD,得PO底面ABCD.以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系O
17、xyz.(1)证明:CD1,在直角梯形中,ABBC2,在等边三角形PBC中,PO,A(1,2,0),B(1,0,0),D(1,1,0),P(0,0,),(2,1,0),(1,2,),(2)1(1)(2)0()0,即PABD.(2)取PC中点N,则.(0,2,0),(1,0,),00200,1000,平面PDC,显然(0,0,),且平面ABCD,的夹角等于所求二面角的平面角000,|,|,cos,二面角PDCB的大小为60.(3)证明:取PA的中点M,连接DM,则M的坐标为.又,(1,0,),10(2)()0,100()0,即DMPA,DMPB.又PAPBP,DM平面PAB,平面PAD平面PAB
18、.21解析:(1)由于PA平面ABCD,CD平面ABCD,则PACD,由题意可知ADCD,且PAADA,由线面垂直的判定定理可得CD平面PAD.(2)以点A为坐标原点,平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴,AD,AP方向为y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,易知:A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),由可得点F的坐标为F,则,由可得E(0,1,1),则(0,1,1),设平面AEF的法向量为:m(x,y,z),则据此可得平面AEF的一个法向量为:m(1,1,1),很明显平面AEP的一个法向量为n(1,0,0),cosm,n,二面角FAEP的平面角为锐
19、角,故二面角FAEP的余弦值为.(3)易知P(0,0,2),B(2,1,0),由可得G,则,由(2)知平面AEF的一个法向量为:m(1,1,1),又m0且点A在平面AEF内,故直线AG在平面AEF内22解析:(1)在三棱柱ABCA1B1C1中,CC1平面ABC,四边形A1ACC1为矩形又E,F分别为AC,A1C1的中点,ACEF.ABBC.ACBE,又EFBEE,EF平面BEF,BE平面BEF,AC平面BEF.(2)由(1)知ACEF,ACBE,EFCC1.又CC1平面ABC,EF平面ABC.BE平面ABC,EFBE.如图建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0,2,0),C(1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1)(2,0,1),(1,2,0),设平面BCD的法向量为n(a,b,c),令a2,则b1,c4,平面BCD的法向量n(2,1,4),又平面CDC1的法向量为(0,2,0),cosn.由图可得二面角BCDC1为钝角,所以二面角BCDC1的余弦值为.(3)由(2)知平面BCD的法向量为n(2,1,4),G(0,2,1),F(0,0,2),(0,2,1),n2,n与不垂直,GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内,GF与平面BCD相交