1、高考资源网（） 您身边的高考专家2三角形中的几何计算学 习 目 标核 心 素 养1进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系(易混点)2掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关三角形中的几何度量问题(重点)3深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在三角形度量问题中的应用(难点)4了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用，培养学生灵活运用知识的能力1通过三角形中的几何计算，培养数学运算素养2通过三角形中的几何计算，培养逻辑推理素养三角形中的几何计算阅读教材P54P55“练习”以上部分完成下列问题(1)三角形中的几何计算主要涉及长度、角度、面积问题(2)在ABC中，有以
2、下常用结论：abc，bca，cab；abABsin Asin B；ABC，；sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sincos，cossin思考：(1)若角A是三角形ABC中最大的角，则角A的范围是什么？提示A(2)在ABC中，若A，则角B的取值范围是什么？提示0B1在ABC中，a2，A30，则ABC外接圆的半径为()A4 B2 C2 DB由正弦定理得2R4，故R22在ABC中，若a7，b3，c8，则ABC的面积等于()A12 B C28 D6D由余弦定理可得cos A，A60，所以SABCbcsin A63已知ABC的面积为，且b2，c，则()AA30 BA60CA30或150
3、 DA60或120D由SABCbcsin A，得sin A，sin A，由0A180，知A60或A1204在ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a24Sb2c2，则角A为 45因为a2b2c22bccos A，又已知a24Sb2c2，故Sbccos Abcsin A，从而sin Acos A，tan A1，A45计算线段的长度和角度【例1】在ABC中，已知B30，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6(1)求ADC的大小；(2)求AB的长解(1)在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120(2)由(1)知ADB60，在ABD中，AD10，B30，
4、ADB60，由正弦定理得，AB10求线段的长度与角度的方法(1)求线段的长度往往归结为求三角形的边长，解决此类问题要恰当地选择或构造三角形，利用正、余弦定理求解；(2)求角度时，把所求的角看作某个三角形的内角，利用正、余弦定理求解，或利用ABC求解.1如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长解在ABD中，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcosADB，设BDx，则有142102x2210xcos 60，x210x960，x116，x26(舍去)，BD16在BCD中，由正弦定理知，BCsin 308三角形中与面积有关的问题【例2】A
5、BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知可得tan A，所以A在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240解得c6(舍去)，c4(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD故ABD面积与ACD面积的比值为1又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为三角形面积公式的应用(1)三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角的正弦值可求.(2)在解决三角形问题时，面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A最常用，因为公式中既有角又有边，容易和正弦
6、定理、余弦定理联系起来应用.2在ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2c2a2bc若a，且ABC的面积为3，求bc的值解cos A，又A为三角形内角，所以A由面积公式得：bcsin3，即bc12因为a，由余弦定理得：b2c22bccos13，即b2c2bc13，则b2c225，所以(bc)249，故bc7正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用探究问题1在ABC中有哪些常用的结论？(试写出三条)提示(1)sin(AB)sin C；(2)sincos；(3)cos(AB)cos C2在ABC中，如何用sin A，cos A，sin B，cos B表示sin C?
7、提示sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B【例3】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tan B解(1)证明：根据正弦定理，可设k(k0)，则aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C所以sin Asin Bsin C(2)由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A所以sin A由(1)知，sin Asin Bsi
8、n Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B故tan B41(变结论)在例3中，若a2，求ABC的面积解由例3(2)解答可知sin Bcos Bsin B，即cos Bsin B，又sin2Bcos2B1，解得sin B，由正弦定理得b，则SABCabsin Cabsin Asin B22(变条件)把例3的条件变为“cos 2Ccos 2A2sinsin”，(1)求角A的值；(2)若a且ba，求2bc的取值范围解(1)由已知得2sin2A2sin2C2，化简得sin A，因为A为ABC的内角，所以sin A，故A或(2)因为ba，所以A由正弦定理得2，得b2sin
9、B，c2sin C，故2bc4sin B2sin C4sin B2sin3sin Bcos B2sin因为ba，所以B，则B，所以2bc2sin，2)正、余弦定理综合应用技巧(1)理清题目所给条件，利用正、余弦定理沟通三角形中的边与角之间的数量关系；(2)紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，将复杂的三角式或代数式转化为简单问题来计算或证明.1正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决解决时抓住两点：合理的运用题目中的三角形资源，尽量将所有的条件集中到某个三角形之中，会使问题更容易解决2三角形面积计算的解题
10、思路对于此类问题，一般要用公式Sabsin Cbcsin Aacsin B进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ABC的外接圆半径为R，其三边长为a，b，c，则ABC的面积S()(2)存在ABC，使sin Asin Bsin C()(3)在ABC中，cos C2sin21()答案(1)(2)(3)提示(1)，(3)正确，(2)错误因为abc，由正弦定理可得sin Asin
11、Bsin C2在ABC中，周长为75 cm，且sin Asin Bsin C456，下列结论：abc456；abc2；a2 cm，b25 cm，c3 cm；ABC456其中成立的个数是()A0个 B1个C2个 D3个C由正弦定理知abc456，故对，错，错；结合abc75，知a2，b25，c3，对，选C3ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()A B C D9C设a2，b3，cos C，则c2a2b22abcos C492239，即c3，又由cos C得sin C，则2R，R4如图所示，在ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度解在ABC中，由余弦定理，有cos C，则C30在ACD中，由正弦定理，有，AD，即AD的长度等于- 10 - 版权所有高考资源网
