1、 理科数学参考答案第 1 页（共 9 页）理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A B D C D C D D B A【解析】1|01Bxx，则1AB，故选 A 2113 i13i1010z，13 i1010z，故选 D 30.50.20.200.50.5log0.2log0.51 1 0.20.20.50.511acbc，又，abc，故选 A 4该几何体是一个 4 个面都是直角三角形的三棱锥，如图 1 所示，111222 22222PABPACPBCABCSSSSS 表面积
2、12 222244 22，故选 B 5不超过 20 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，共 8 个，从中取出 2 个不同的数有 28种，其中取出的两个数之差的绝对值为 2 的有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，共 4种，所以所求的概率是 41287，故选 D 61|cos602 112a bab ，2(2)2|1|2|abba bbab ，22(2)114 44442cos2 2 2 12|2|abbaa bbab babbabb ，与 的夹角是120，故选 C 724241351(1)17aaaaqqqq ，223q 或，2463123571111a a
3、aa q a q a qaq 26()64q，故选 D 图 1 理科数学参考答案第 2 页（共 9 页）8选项 A：()()fxf x，故 A 正确；选项 B：73sin1122f ，故 B 正确；选项 C：2202sin633333xxyx，在，上不单调，故 C 错误；选项 D：sin 2yx向左平移 6 个单位得到sin 2sin 263yxx，故 D 正确，故选 C.9BF垂直于 x 轴，2bB ca，(0)Aa，202ABbakca，22()bcaa，22()ba ca，22222caaca，22230caca，2230ee，3e 或 1(舍)，故选 D.10 易 知 RtABC的 外
4、 接 圆 直 径 为 AC，所 以 半 径 长 为 52，设 外 接 球 半 径 为 R，则2225317222R，21434SR，设 RtABC的 内 切 圆 半 径 为 r，则11(345)34122rr ，223r，故该直三棱柱内半径最大的球的半径为r，2244Sr，12341742SS，故选 D 11设直线(1)yk x，由2(1)3yk xyx，得2330kyyk，设11()A xy，22()B xy，则有123yyk，123y y ，又3APPB，123yy，由得1231yy，或1231yy，(舍)，代入得123322yykk，故选 B 12221cos 2112()ln(1)si
5、n 2ln(1)222xf xxxxxx ，设1()sin 22g xx 2ln(1)xx，则1()()2f xg x，11(ln 2)(ln 2)(ln)(ln 2)22afgbff，1(ln 2)2g，又()()gxg x，()g x为奇函数，(ln 2)(ln 2)0gg，1ab (ln 2)(ln 2)1gg，故选 A 理科数学参考答案第 3 页（共 9 页）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号 13 14 15 16 答案 0 3，60 803 【解析】13作出可行域如图 2 中阴影部分所示，其中(1 2)(11)AB，(3 0)C，1xyyzxx，令y
6、kx，则ykx可看作可行域内的点()xy，与原点的连线的斜率，由图可知 1 2k ，故0 3z ，14由题意得 264n，则6n，展开式的通项为6631216622CC(2)rrrrrrrTxxx ，令3120r，则4r ，故常数项为4256C(2)60T 15令1pqn，则112nnnaa aa，所以na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，2nna，当1m 时，10b；当122nnm时，mbn，1501234567()()Sbbbbbbb 23456465127128129150()()01 222324252bbbbbb 6627(150127)803.16当0mn时，曲线 C 可化为2
7、21xyn，它表示半径为 1n的圆，故错误；当0mn时，曲线 C 可化为22111xymn，又110mn，所以曲线C 表示焦点在 y 轴上椭圆，其离心率为111cmnnmeamn，故正确；当00mn，时，曲线C 可化为21yn，即1yn，它表示两条与 x 轴平行的直线，故错误；当0mn 时，曲线 C是双曲线，令220mxny，则渐近线为myxn ，故正确 图 2 理科数学参考答案第 4 页（共 9 页）三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）解：（1）sincossinsinsincos66cAaCCAAC，31sin0sincoscossi
8、n622ACCCC，sin3costan3CCC，0.3CC，（6 分）（2）222222coscos122acbabccBbCcbaaacab，sinsinabAB，13sinsincossin13322sinsinsin22tanAAAaBbAAAA，ABC为锐角三角形，3tan623AA，133030tan2tan2AA ，122b，1333sin.2482ABCSabCb，（12 分）（其他解法酌情给分）18（本小题满分 12 分）（1）证明：取 AD 的中点O，连接OB，OP，BD，PAPDOPADBDABOBAD，又OPOBO，则 AD 平面 POB，理科数学参考答案第 5 页（共
9、 9 页）PB 平面 POB，ADPB.（6 分）（2）解：由（1）知 PADB的平面角为POB，120POB，如图 3，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0 0 0)O，33(1 0 0)(03 0)(23 0)022ABCP，设平面 PAB 的法向量为1111()nxyz，331(13 0)22APAB ，11111113302230nAPxyznABxy ，1(33 3)n，设平面 PBC 的法向量为2222()nxyz，33(2 0 0)2322CBCP，222222203323022nCBxnCPxyz ，2(0 13)n，12121233 32 7cos7|212nnnnnn ，
10、APBC的正弦值为21.7 （12 分）19（本小题满分 12 分）解：（1）22列联表如下：学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计 在校期间使用手机 20 80 100 在校期间不使用手机 40 10 50 合 计 60 90 150 2K 的观测值2150(20 1040 80)5010.828100506090k，图 3 理科数学参考答案第 6 页（共 9 页）所以有99.9%的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”（6 分）（2）从学习成绩优秀的学生中按在校是否使用手机分层抽样选出 6 人，其中在校使用手机的学生有620260人，在校不使用手机的学生有640460人 X 可能的取值为
11、0 1 2，2426C62(0)C155P X，112426C C8(1)C15P X，2226C1(2)C15P X，X的分布列为：X 0 1 2 P25 815 115 X的数学期望为2812()012.515153E X （12 分）20（本小题满分 12 分）（1）解：由题意得2222222241183226abacbacabc，椭圆C 的方程为22182xy.（4 分）（2）证明：当l 的斜率不存在时，设l：(2 22 2)xtt，则228822ttA tB t，理科数学参考答案第 7 页（共 9 页）2288112221222PAPBttkkttt，4t (不符合题意)；当l 的斜
12、率存在时，设l：(21)ykxm mk，由22182ykxmxy，得222(41)8480kxkmxm，2222644(41)(48)0k mkm ，设1122()()A xyB xy，则 21212228484141kmmxxx xkk，又点121211(21)22PAPByyPkkxx，1212()1()122PAPBkxmkxmkkxx 1212(2)21(2)2122k xmkk xmkxx 12212122mkmkkkxx 12112(21)22kmkxx 121242(21)(2)(2)xxkmkxx 12121242(21)2()4xxkmkx xxx 222221684412(
13、21)16441641kkmkkmkkmkmk 224212(21)(2)1kkmkmkkm 24212121kkmkkm，4mk，理科数学参考答案第 8 页（共 9 页）直线l：(4)yk x，直线l 恒过定点(4 0)，.（12 分）（其他解法酌情给分）21（本小题满分 12 分）解：（1）()e1xfxax ，()f x在0 x 处的切线与 x 轴平行，(0)101faa，21()e2xf xxx，()e1xfxx ，又()fx在 R 上为增函数，且(0)0f ，存在唯一的0 x 使得(0)0f ，令()0fx，得0 x ；令()0fx，得0 x ，()f x在(0)，上单调递减，在(0
14、)，上单调递增.（6 分）（2）2211()ee22xxF xxxxmxm，令()0F x ，即 e0 xxm在 1 2，上有两个实根，()e1xF x，令()0F x，得0 x ，令()0F x，得0 x ；令()0F x，得0 x ，()F x在 1 0)，上单调递减，在(0 2，上单调递增，e0 xxm在 1 2，上有两个实根，21(1)10e(0)10(2)e20FmFmFm ，解得111em，111.em，（12 分）（其他解法酌情给分）理科数学参考答案第 9 页（共 9 页）22（本小题满分 10 分）【选修 44：坐标系与参数方程】解：（1）直线l 可化为20 xy，设l 的倾斜
15、角为，则 tan1 ，135，2222cos2 cos2xyx，故曲线C 的直角坐标方程为22(1)1.xy （5 分）（2）曲线C 表示圆心为(1 0)C，半径1r 的圆，圆心(1 0)C，到直线l 的距离|102|222d，2222|22 122ABrd，又点 P 到l 的最大距离为212dr，11212|21.2222PABSABh （10 分）23（本小题满分 10 分）【选修 45：不等式选讲】解：（1）321()210320 xxf xxxxx，如图 4 所示，当()4f x 时，2x 或23x，由图可知不等式()4f x 的解集为22.3xx （5 分）（2）由图可知当1x 时，min()1f x，2212121012aaaaa，11.2a ，（10 分）图 4
