1、 理科数学参考答案第 1 页(共 9 页)理科数学参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A B D C D C D D B A【解析】1|01Bxx,则1AB,故选 A 2113 i13i1010z,13 i1010z,故选 D 30.50.20.200.50.5log0.2log0.51 1 0.20.20.50.511acbc,又,abc,故选 A 4该几何体是一个 4 个面都是直角三角形的三棱锥,如图 1 所示,111222 22222PABPACPBCABCSSSSS 表面积
2、12 222244 22,故选 B 5不超过 20 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,共 8 个,从中取出 2 个不同的数有 28种,其中取出的两个数之差的绝对值为 2 的有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),共 4种,所以所求的概率是 41287,故选 D 61|cos602 112a bab ,2(2)2|1|2|abba bbab ,22(2)114 44442cos2 2 2 12|2|abbaa bbab babbabb ,与 的夹角是120,故选 C 724241351(1)17aaaaqqqq ,223q 或,2463123571111a a
3、aa q a q a qaq 26()64q,故选 D 图 1 理科数学参考答案第 2 页(共 9 页)8选项 A:()()fxf x,故 A 正确;选项 B:73sin1122f ,故 B 正确;选项 C:2202sin633333xxyx,在,上不单调,故 C 错误;选项 D:sin 2yx向左平移 6 个单位得到sin 2sin 263yxx,故 D 正确,故选 C.9BF垂直于 x 轴,2bB ca,(0)Aa,202ABbakca,22()bcaa,22()ba ca,22222caaca,22230caca,2230ee,3e 或 1(舍),故选 D.10 易 知 RtABC的 外
4、 接 圆 直 径 为 AC,所 以 半 径 长 为 52,设 外 接 球 半 径 为 R,则2225317222R,21434SR,设 RtABC的 内 切 圆 半 径 为 r,则11(345)34122rr ,223r,故该直三棱柱内半径最大的球的半径为r,2244Sr,12341742SS,故选 D 11设直线(1)yk x,由2(1)3yk xyx,得2330kyyk,设11()A xy,22()B xy,则有123yyk,123y y ,又3APPB,123yy,由得1231yy,或1231yy,(舍),代入得123322yykk,故选 B 12221cos 2112()ln(1)si
5、n 2ln(1)222xf xxxxxx ,设1()sin 22g xx 2ln(1)xx,则1()()2f xg x,11(ln 2)(ln 2)(ln)(ln 2)22afgbff,1(ln 2)2g,又()()gxg x,()g x为奇函数,(ln 2)(ln 2)0gg,1ab (ln 2)(ln 2)1gg,故选 A 理科数学参考答案第 3 页(共 9 页)二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)题号 13 14 15 16 答案 0 3,60 803 【解析】13作出可行域如图 2 中阴影部分所示,其中(1 2)(11)AB,(3 0)C,1xyyzxx,令y
6、kx,则ykx可看作可行域内的点()xy,与原点的连线的斜率,由图可知 1 2k ,故0 3z ,14由题意得 264n,则6n,展开式的通项为6631216622CC(2)rrrrrrrTxxx ,令3120r,则4r ,故常数项为4256C(2)60T 15令1pqn,则112nnnaa aa,所以na是首项为 2,公比为 2 的等比数列,2nna,当1m 时,10b;当122nnm时,mbn,1501234567()()Sbbbbbbb 23456465127128129150()()01 222324252bbbbbb 6627(150127)803.16当0mn时,曲线 C 可化为2
7、21xyn,它表示半径为 1n的圆,故错误;当0mn时,曲线 C 可化为22111xymn,又110mn,所以曲线C 表示焦点在 y 轴上椭圆,其离心率为111cmnnmeamn,故正确;当00mn,时,曲线C 可化为21yn,即1yn,它表示两条与 x 轴平行的直线,故错误;当0mn 时,曲线 C是双曲线,令220mxny,则渐近线为myxn ,故正确 图 2 理科数学参考答案第 4 页(共 9 页)三、解答题(共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)解:(1)sincossinsinsincos66cAaCCAAC,31sin0sincoscossi
8、n622ACCCC,sin3costan3CCC,0.3CC,(6 分)(2)222222coscos122acbabccBbCcbaaacab,sinsinabAB,13sinsincossin13322sinsinsin22tanAAAaBbAAAA,ABC为锐角三角形,3tan623AA,133030tan2tan2AA ,122b,1333sin.2482ABCSabCb,(12 分)(其他解法酌情给分)18(本小题满分 12 分)(1)证明:取 AD 的中点O,连接OB,OP,BD,PAPDOPADBDABOBAD,又OPOBO,则 AD 平面 POB,理科数学参考答案第 5 页(共
9、 9 页)PB 平面 POB,ADPB.(6 分)(2)解:由(1)知 PADB的平面角为POB,120POB,如图 3,以O 为原点建立空间直角坐标系,则(0 0 0)O,33(1 0 0)(03 0)(23 0)022ABCP,设平面 PAB 的法向量为1111()nxyz,331(13 0)22APAB ,11111113302230nAPxyznABxy ,1(33 3)n,设平面 PBC 的法向量为2222()nxyz,33(2 0 0)2322CBCP,222222203323022nCBxnCPxyz ,2(0 13)n,12121233 32 7cos7|212nnnnnn ,
10、APBC的正弦值为21.7 (12 分)19(本小题满分 12 分)解:(1)22列联表如下:学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计 在校期间使用手机 20 80 100 在校期间不使用手机 40 10 50 合 计 60 90 150 2K 的观测值2150(20 1040 80)5010.828100506090k,图 3 理科数学参考答案第 6 页(共 9 页)所以有99.9%的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”(6 分)(2)从学习成绩优秀的学生中按在校是否使用手机分层抽样选出 6 人,其中在校使用手机的学生有620260人,在校不使用手机的学生有640460人 X 可能的取值为
11、0 1 2,2426C62(0)C155P X,112426C C8(1)C15P X,2226C1(2)C15P X,X的分布列为:X 0 1 2 P25 815 115 X的数学期望为2812()012.515153E X (12 分)20(本小题满分 12 分)(1)解:由题意得2222222241183226abacbacabc,椭圆C 的方程为22182xy.(4 分)(2)证明:当l 的斜率不存在时,设l:(2 22 2)xtt,则228822ttA tB t,理科数学参考答案第 7 页(共 9 页)2288112221222PAPBttkkttt,4t (不符合题意);当l 的斜
12、率存在时,设l:(21)ykxm mk,由22182ykxmxy,得222(41)8480kxkmxm,2222644(41)(48)0k mkm ,设1122()()A xyB xy,则 21212228484141kmmxxx xkk,又点121211(21)22PAPByyPkkxx,1212()1()122PAPBkxmkxmkkxx 1212(2)21(2)2122k xmkk xmkxx 12212122mkmkkkxx 12112(21)22kmkxx 121242(21)(2)(2)xxkmkxx 12121242(21)2()4xxkmkx xxx 222221684412(
13、21)16441641kkmkkmkkmkmk 224212(21)(2)1kkmkmkkm 24212121kkmkkm,4mk,理科数学参考答案第 8 页(共 9 页)直线l:(4)yk x,直线l 恒过定点(4 0),.(12 分)(其他解法酌情给分)21(本小题满分 12 分)解:(1)()e1xfxax ,()f x在0 x 处的切线与 x 轴平行,(0)101faa,21()e2xf xxx,()e1xfxx ,又()fx在 R 上为增函数,且(0)0f ,存在唯一的0 x 使得(0)0f ,令()0fx,得0 x ;令()0fx,得0 x ,()f x在(0),上单调递减,在(0
14、),上单调递增.(6 分)(2)2211()ee22xxF xxxxmxm,令()0F x ,即 e0 xxm在 1 2,上有两个实根,()e1xF x,令()0F x,得0 x ,令()0F x,得0 x ;令()0F x,得0 x ,()F x在 1 0),上单调递减,在(0 2,上单调递增,e0 xxm在 1 2,上有两个实根,21(1)10e(0)10(2)e20FmFmFm ,解得111em,111.em,(12 分)(其他解法酌情给分)理科数学参考答案第 9 页(共 9 页)22(本小题满分 10 分)【选修 44:坐标系与参数方程】解:(1)直线l 可化为20 xy,设l 的倾斜
15、角为,则 tan1 ,135,2222cos2 cos2xyx,故曲线C 的直角坐标方程为22(1)1.xy (5 分)(2)曲线C 表示圆心为(1 0)C,半径1r 的圆,圆心(1 0)C,到直线l 的距离|102|222d,2222|22 122ABrd,又点 P 到l 的最大距离为212dr,11212|21.2222PABSABh (10 分)23(本小题满分 10 分)【选修 45:不等式选讲】解:(1)321()210320 xxf xxxxx,如图 4 所示,当()4f x 时,2x 或23x,由图可知不等式()4f x 的解集为22.3xx (5 分)(2)由图可知当1x 时,min()1f x,2212121012aaaaa,11.2a ,(10 分)图 4