1、1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在学 习 目 标核 心 素 养1了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系(易混点)2.掌握函数零点存在的判定方法(重点)3.能结合图像求解零点问题(难点)1.学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养.2.通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养.函数零点及判定定理阅读教材P115P116整节的内容，完成下列问题(1)函数的零点：定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系(2)函数零点的判定定理：若函数yf(x)在闭区间a，b上的
2、图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则yf(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？提示(1)不是点，是数(2)不一定，如yx21，在区间(2,2)上有两个零点1下列各图像表示的函数中没有零点的是()D选项A，B和C中，函数的图像与x轴有交点，而选项D中，函数图像与x轴没有交点，故该函数没有零点2函数f(x)x32x1的零点所在的大致区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)Af(0)10，且f(x)在区间0,1上连续，f(x)在(0,1)上至少有一个零点又f(x)在R上是增函数，则f(x)有唯一零点故选A.3若4是函数f(x)ax22log2x
3、的零点，则a的值是_依题意，f(4)0，即16a2log240，解得a.4函数yx的零点是_1由y0，得x0，解得x1.求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x.解(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是3.(2)令x22x40，由于2244120，所以方程x22x40无解，所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令2x30，解得xlog23，所以函数f(x)2x3的零点是log23.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是3.函数零点的求法,求
4、函数yf(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.1若函数f(x)x2xa的一个零点是3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点解由题意知f(3)0，即(3)23a0，a6.所以f(x)x2x6.解方程x2x60，得x3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.判断零点所在的区间【例2】(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)15107645则函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个B3个C4个D5个(2)函数f(x)
5、ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C.和(3,4)D(e，)(1)B(2)B(1)由已知数表可知f(2)f(3)10(7)0，f(3)f(4)(7)60，f(4)f(5)6(4)0，故函数f(x)在(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别存在零点，故至少有3个零点(2)f(1)20，f(2)ln 210，在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)ln 30，f(2)f(3)0，f(x)在(2,3)内有零点1(变条件)已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则此零点所在区间是()A(3,4)B(2,3)C(1,2)D(0,1)C因为f(1)10，所以f(1)f(2)0
6、，所以f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点，又f(x)仅有一个正零点，故选C.2(变结论)探究1中，函数yf(x)有负零点吗？解当x1时，f(x)x3x1x(x21)11，当1x0时，f(x)x3x1x3(x1)(x1)0，综上知，当x0时，f(x)0时，令2ln x0，解得xe2，所以已知函数有两个零点，故选B.(2)因为f(1)2，f(2)ln 210；所以f(1)f(2)0.又f(x)ln xx23的图像在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有1个判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解
7、的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数(2)图像法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数(3)定理法：函数yf(x)的图像在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0即可判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点若函数yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点2(1)函数f(x)x3的零点个数是()A0个B1个C2个D无数个(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数
8、g(x)f(x)x3的零点的集合为_(1)B(2)2，1,3(1)如图所示，作出yx3与y的图像，两个函数的图像，只有一个交点，所以函数只有一个零点，所以B项正确(2)f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，令x0，f(x)x23xf(x)，f(x)x23x，则f(x)g(x)f(x)x3，g(x)，令g(x)0，当x0时，x24x30，解得x1或x3，当x0时，画出函数f(x)ax2bxc在区间(m，n)内有两个零点图像，并根据图像的特征，写出参数a，b，c满足的条件提示：2对于探究1中的问题，将“a0”改为“a0，a0时，设f(x)ax22x1，方程的根分别在区间(0,1
9、)，(1,2)上，即解得a1.(3)当a0时，设方程的两根为x1，x2，则x1x20，x1，x2一正一负不符合题意综上，a的取值范围为.(变条件)若本例中的方程至少有一个正根，求实数a的取值范围解(1)当a0时，方程变为2x10，解得x，符合题意(2)当a0时，解得a1，故0a1.(3)当a0时，因为f(0)1，故函数f(x)ax22x1与x轴一定有两个交点，故方程ax22x10必有一个正根综上，实数a的取值范围是(，1解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题.(2)结合草图考虑三个方面：开口方向；与0的大小；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与
10、零的关系.1在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数图像在区间a，b上是连续的；(2)定理不可逆；(3)在区间(a，b)内，函数至少存在一个零点2方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图像与x轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础1思考辨析(1)零点即函数yf(x)的图像与x轴的交点()(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1，x2，则函数yf(x)有两个零点()(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(
11、b)0.()答案(1)(2)(3)2yx1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是()A1，(1,0)B(1,0)，0C(1,0)，1D1，1C由yx10，得x1，故交点坐标为(1,0)，零点是1.3若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；函数f(x)在(3,5)内无零点；函数f(x)在(2,5)内有零点；函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；函数f(x)的零点必在(1,5)内以上说法错误的是_(将序号填在横线上)由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，错误4判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)y；(2)yx22x4；(3)y1log5x.解(1)令y0，得0，无解故函数不存在零点(2)令y0，得x22x40，444120.故函数不存在零点(3)令y0，得1log5x0，log5x1，解得x5.故函数的零点为5.