1、第 1页,共 4页蚌埠市教师“我为高考命题”数学学科试卷第 I 卷(选择题,共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 1,4,则 A.B.1C.1 D.若复数 z 满足1 1 ,则 A.B.2C.D.3.人体的体质指数的计算公式:体重身高体重单位为 kg,身高单位为.其判定标准如表:BMI1现.以下1现.3.4.30 以上等级偏瘦正常超标重度超标某小学生的身高为 1.4,在一次体检时,医生告诉她属于正常类,则她的体重可能是A.3.B.3.1C.4.4D.4现.4.设 m,n 是两条不同的直线,是
2、两个不同的平面,则 燐 的一个充分不必要条件是A.燐,燐 B.,燐 C.,燐,燐 D.,燐 5.设 x,y 满足约束条件3 3 4 ,则目标函数 的最大值为A.8B.7C.6D.56.九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”“钱”是古代一种质量单位,在这个问题中,甲比戊多得钱?A.3B.13C.D.17.已知函数 的大致图象如图所示,则函数 的解析式可能为A.ln11B.ln11C.ln11
3、D.ln118.已知是锐角向量 1,1,满足 ,则 a 为A.1B.3C.D.49.(原创题)过曲线 外一点 作该曲线的切线 l,则 l 在 y 轴上的截距为A.B.C.1D.第 页,共 4页10.已知函数 1 3,将函数 的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再把所得图象向上平移 2 个单位长度得到函数 的图象,若1 1,则1 的值可能为A.B.C.D.311.已知双曲线 C:现 1 ,1,是 C 的左右焦点,P 是双曲线 C 右支上任意一点,若1 的最小值为 8,则双曲线 C 的离心率为A.3B.3C.2D.12.已知函数 猐 1,1 ,若存在 1,使得 1 3 成立,则实数 m
4、的取值范围为A.3 1B.1 C.3 D.13 第 II 卷(非选择题,共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,第 22 题 第 23 题为选考题.二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分共 20 分。13.二项式 展开式中的常数项为 240,则实数 a 的值为_14.已知等比数列中,1 3,3 4,则 _15.已知1为椭圆 C:4 1 的左焦点,过点1的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,若1 31,则直线 l 的斜率为_16.(原创题)在 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin,则_,sinC 的最大值为_三、解答题:本大题共
5、 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。17.在锐角 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 1求证:;若 14,求 的面积18.如图,在四棱锥 中,侧面 PAD 为等边三角形,且垂直于底面 ABCD,1,4,分别是 AD,PD 的中点证明:平面 平面 PAB;已知点 E 在棱 PC 上且 3 ,求直线 NE 与平面 PAB 所成角的余弦值第 3页,共 4页19.在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如表:作物产量现400500概率.4作物市场价格元现56概率.
6、(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列利润产量市场价格成本;若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中的利润都在区间11的概率20.已知抛物线 C:,抛物线 C 与圆 D:1 4 的相交弦长为 41求抛物线 C 的标准方程;点 F 为抛物线 C 的焦点,A、B 为抛物线 C 上两点,若 的面积为3,且直线 AB 的斜率存在,求直线 AB 的方程第 4页,共 4页21.已知函数 猐1讨论 在定义域内的极值点的个数;若对 ,3 恒成立,求实数 m 的取值范围;3证明:若 ,不等式 1 1 1 成立请在第、3 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
7、22.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 4 为参数.以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 1cos1求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;设点 P 在直线 l 上,点 Q 在曲线 C 上,求的最小值23.(原创题)设 a,b,且 31求证:1 1 3;若 1,求证:1 3蚌埠市教师“我为高考命题”数学学科参考答案一、选择题:1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】C11.【答案】B12【答案】A二、填空题:13.214.1
8、2715.216.3,53三.解答题:17.(1)证明:(2c 2b)cosA=acosB c由正弦定理可得,2sinCcosA 2sinBcosA=sinAcosB sinC=sinAcosB sinAcosB sinBcosA,即 2sinCcosA sinBcosA=0,A 为锐角,则 cosA 0,2sinC=sinB,由正弦定理可得 b=2c,(2)由题意可得 cosA=1 1516=14,由余弦定理可得,b2+c2 2bc 14=4,因为 b=2c,解可得,b=2,c=1,故 ABC 的面积12 2 154=15418.()证明:BAD=ABC=90,AD/BC,又ADC=45,A
9、B=BC=1,AD=2而 M、N 分别是 AD、PD 的中点,MN/PA,故 MN/面 PAB又 AM/BC 且 AM=BC,故四边形ABCM 是平行四边形,CM/AB,CM/面 PAB又 MN,CM 是面 CMN 内的两条相交直线,故面 CMN/面 PAB;()解:由题意可知,MC,MD,MP 两两垂直,分别以 MC,MD,MP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,3),N(0,12,32),AB =(1,0,0),PA =(0,1,3),CE =23 CP ,E(13,0,2 33),得NE
10、=(13,12,33),设平面 PAB 的一个法向量为n=(x,y,z),由 n AB =x=0n PA =y 3z=0,取 z=1,得n=(0,3,1)|cos|=|32+33|219+14+13=32 直线 NE 与平面 PAB 所成角的余弦值为 1 (32)2=1219.解:(1)设 A 表示事件“作物产量为 400kg”,B 表示事件“作物市场价格为 5元/kg”,由题设知,P(A)=0.6,P(B)=0.5,利润=产量市场价格成本,X 的所有可能取值为:400 5 1000=1000,400 6 1000=1400,500 5 1000=1500,500 6 1000=2000P(X
11、=1000)=P(A)P(B)=0.5 0.6=0.3,P(X=1400)=P(A)P(B)=(1 0.5)0.6=0.3,P(X=1500)=P(A)P(B)=0.5 0.4=0.2,P(X=2000)=P(A)P(B)=0.4 0.5=0.2 X 的分布列为:X 1000 1400 1500 2000P 0.30.30.30.2(2)每一季利润在区间(1200,1600)的概率为 0.3+0.2=0.5故 3 季中的利润都在(1200,1600)的概率为 053=1820.解:(1)由抛物线和圆的的对称性可得两条曲线的交点关于 x 轴对称,由弦长为 4 可得,交点的纵坐标为 2,设交点 P
12、(a,2),由题意可得 22=2pa,(a 1)2+22=4,解得 a=1,p=2,所以抛物线的标准方程为:y2=4x(2)设直线 AB 的方程为:y=kx+b(k 0),点 A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线 AB 与抛物线的方程:y2=4xy=kx+b,整理可得:k2x2+(2kb 4)x+b2=0,=(2kb 4)2 4k2b2 0,可得 kb 1,x1+x2=42kbk2,x1x2=b2k2,y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=b2+4kb2k2b2k2+b2=4bk由AFB=90可得:FA FB =0,即(x1 1,y1)(x2 1,y2)=0,整理可得:x1
13、x2 (x1+x2)+1+y1y2=0,即b2k2 42kbk2+4bk+1=0,可得b2+6kb+k2=4,SAFB=12|AF|BF|=12(x1+1)(x2+1)=12(x1x2+x1+x2+1)=12(b2k2+42kbk2+1)=(b+kk)2=2536,所以b+kk=56,可得:k=6b 或 k=6b11,所以由b2+6kb+k2=4k=6bkb 1可得 k=12,b=2,或 k=12,b=2,所以直线方程为:y=12x 2 或 y=12x+2;所以由b2+6kb+k2=4k=6b11kb 0),对于方程 2x2+mx+2=0,=m2 16,当 4 m 4 时,=m2 16 0,f
14、(x)0,此时 f(x)没有极值点;当 m 4 时,方程 2x2+mx+2=0 的两根为x1,x2,不妨设x1 0,x1x2=1,0 x1 x2,当 0 x x2时,f(x)0,当x1 x x2时,f(x)4 时,方程 2x2+mx+2=0 的两根为x3,x4,且x3+x4=m2 0,x3x4=1,故x3 0,x4 0,故 f(x)没有极值点;综上,当 m 4 时,函数 f(x)有两个极值点;当 m 4 时,函数 f(x)没有极值点;(2)f(x)2ex 3x2=x2+mx+2lnx 2ex 3x2 0,即 mx+2lnx 2ex 2x2 0,则 m 2x2+2ex2lnxx,设 g(x)=x
15、2+exlnxx,g(x)=x21+(x1)ex+lnxx2,当 x (0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增,则 g(x)g(1)=e+1,故 m 2(e+1);(3)证明:由(2)知当 m=2(e+1)时,(e+1)x+lnx ex x2 0 恒成立,即ex+x2 (e+1)x lnx,欲证ex+x2 (e+1)x 1 1x,只需证 lnx 1 1x,设 h(x)=lnx 1+1x,h(x)=x1x2,当 x (0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,h(x)h(1)=0,故 lnx 1 1x,对 x (0,+),不等式ex+x2 (e+1)x+1x 1 0 成立22.解:(1)直线
16、l 的参数方程为 x=ty=4 2t(t 为参数).转换为直角坐标方程为y=4 2x曲线 C 的极坐标方程为2=21+cos2.转换为直角坐标方程为x2+y22=1(2)设曲线上任一点的坐标为(cos,2sin)到直线 2x+y 4=0 的距离 d=|2cos+2sin4|5=|6sin(+)4|54 5 305,当且仅当 sin(+)=1 时,最小值为4 5 30523.证明:(1)由 9=(a+b+c)2=a+(b+1)+(c 1)2=a2+(b+1)2+(c 1)2+2a(b+1)+2(b+1)(c 1)+2a(c 1)a2+(b+1)2+(c 1)2+a2+(b+1)2+(b+1)2+
17、(c 1)2+a2+(c 1)2=3a2+(b+1)2+(c 1)2(当且仅当 a=1,b=0,c=2 时等号成立)故有a2+(b+1)2+(c 1)2 3;(2)由 a+b+c=3,可得(t+2)2=(a+b+c 1+t)2=(a 1)+(b t)+(c+2t)2=(a 1)2+(b t)2+(c+2t)2+2(a 1)(b t)+2(b t)(c+2t)+2(a 1)(c+2t)(a 1)2+(b t)2+(c+2t)2+(a 1)2+(b t)2+(b t)2+(c+2t)2+(a 1)2+(c+2t)2=3(a 1)2+(b t)2+(c+2t)2,由 t 1,有(t+2)2 9,则 t 1 时(a 1)2+(b t)2+(c+2t)2 3