1、1.2.1任意角三角函数（一）教学设计授课人授课班级课 型概念课课 时1课时教学目标1.掌握任意角的三角函数的定义；2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别；3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；5.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值。教学重点任意角三角函数的定义和简单应用教学难点用角的的终边上点的坐标来刻画三角函数，任意角三角函数定义的引入教学过程教学环节教学过程设计意图教学过程一、复习引入： 师：同学们，初中我们学习了锐角的三角函数，之前我们把角由初中学习的推广到了任意角，能否也将锐角三角函数推广到任意角的三角函数呢？今天我们将
2、一起来学习和研究。 问：如图，初中我们锐角是怎么定义它的三角函数（正弦、余弦、正切）的？（引导学生作直角三角形，设出点P的坐标）从开章语谈起，告知学生本节课研究的目的和原因。 复习旧知识，为新知识的探究作准备。教学过程教学过程二、深入探究问题1：在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？探究1：在直角三角形中锐角是怎么定义它的三角函数（正弦、余弦、正切）的？ 探究2：引入直角坐标系之后，可以怎么表示？探究3：三角函数的值会因为角终边点P的选取而变化吗？图中，点是锐角的终边上异于的一点，设P，你能写出、之间的关系吗？M yxOPPM任意角（实数）唯一比值任意角（实数）唯一比值任意角（实数）唯一比
3、值师：确定的角（弧度数）终边任取一点 P，比值（、）与角唯一对应，都是实数的函数。探究4：能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？画单位圆与角终边的交点探究5:如何用单位圆定义任意角的三角函数？虽然角的大小发生变化，但是：任意角（实数）唯一对应任意角（实数）唯一对应任意角（实数）唯一对应满足函数定义，可以推广从熟悉的初中定义开始，逐步引入坐标系，从特殊到一般，让学生体会数学的发展历程，感受新知识产生的合理性和必冉性。唯一比值：1、说明与点P的选取是无关的，为下一问作铺垫；2、说明自变量任意角与三角函数值的比值是一个映射，满足函数关系。单位圆的引入，简化了函数值的表达式。任意角与三角函数值的比值
4、是一个映射，是一个函数。三、定义推广任意角的三角函数定义【板书】任意角的终边与单位圆交于点P，则：y叫做的正弦，记作sin，即sin=yx叫做的余弦，记作cos，即cos=x叫做的正切，记作tan，即 tan=师：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。问4：你能给出三角函数中自变量的取值范围（即三角函数的定义域）吗？问5：如何求a角的三角函数值?1、 画角：使角a的始边在x轴上，角a的顶点在坐标原点2、 求点：求角a的终与单位圆的交点坐标P（x,y）3、算值：由定义计算：sin=ycos=xtan=注意用函数的定义稍加说明。强
5、调函数问题定义域优先。由定义总结方法，为应用作好备注。四、学以致用例1：如图：已知角的终边与单位圆的交点是P，求角的正弦、余弦和正切值。xyo思考：如何判定一个点的坐标是否在单位圆上？例2：求的正弦、余弦、正切值。xyo例3：已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切值。直接使用定义，强调定义使用的条件：“点P为角的终边与单位圆的交点”数形结合，直接使用定义探究3的应用，另一定义的引入。课堂小结1、 本节课我们是如何研究任意角三角函数的？直角三角形中锐角三角函数直角坐标系中锐角三角函数单位圆中任意角三角函数2、 如何求角的三角函数单位圆中： 在非单位圆中：sin=y sin=cos=x cos
6、=tan= tan=课后作业练习题：第15页第1、2题习题1.2A组 第1、2题.板书设计教学反思三角函数是描述客观世界中周期变化规律的重要数学模型，本章是建立在函数基础上探究角，本节课是学习完任意角、弧度制后的第一节课。在初中，学生就接触过锐角三角函数，为了刻画一些简单的周期运动，要将其推广给出定义，将使学生的思维陷入僵化，不能发展学生的发散思维，无法让学生体会到任意角的三角函数是以角为变量的函数这一数学本质。这是我上这节课一直关注和克服的一大问题，因此我在教学中使用了几何画板，用现场的度量、计算使学生实现自主探究、领会数学内涵。一、成功之处1、教学设计合理、层次分明、环环相扣，符合学生的学
7、情和认知规律。本节课的教学中，以初中学习过的知识入手，切入点底，学生进入状态快。从特殊到一般的做法，给学生有据可依，有例可仿，能大胆总结，积极参与。2、几何画板展示的数学“实验”成为了托载学生思维飞翔的翅膀。为防止“由直角三角形中的锐角三角函数推广到任意角三角函数的定义，将使学生的思维陷入僵化，不能发展学生的发散思维，无法让学生体会到任意角的三角函数是以角为变量的函数这一数学本质”这一目的，我在教学中两次设计几何画板数学“实验”，展示了“锐角三角函数值与角终边取点的位置无关”和“任意角的三角函数是以角为变量，角的终边与单位圆交点坐标或比值为函数值的函数关系”两个数学实验，让学生观察、体会到这一
8、数学本质。“凭风巧借力，送我上青云”此次再一次让我体会到数学学科与先进的信息技术不断融合，将更好的为学生学习数学创造好的学习环境。3、板书设计的变更。实际教学中，我将预设板书中的 “一、直角坐标系中的锐角三角函数”标题更改为：“三、任意角三角函数（非单位圆中）”这样的更改来源于课堂教学中教师和学生互动之后思维碰撞的聚晶。不仅仅降低了书写“成本”，更好的体现了数学的返璞归真和解决问题的多样性，更加的突出和强调了本节课的重点。二、不足之处1、学生谈论热情不高，教师引导不够。学生自己的想法，不善于和同学老师交流，不敢大胆的说。我想在此，老师的引导不够，启发不足，鼓励不多有关。2、课堂中留给学生独立思
9、考，独立表达的时间还不够多，未能让学生更加更好的展示自己的所思所想。3、对学生的学习能力预想稍微偏高。三、教材再认识1、数学课堂的情景创设是关键。虽然这节课情景创设是老掉牙的复习导入初中锐角三角函数，但注重与义务教材的衔接，初中教材中只涉及正弦、余弦和正切，在本节的内容比老教材相比三角函数的定义减少了三个，这三个三角函数的删减大大降低三角函数一章的难度，由这三个也可以推导其他几个。定义的引入还有一个最大的特点是利用单位圆定义三角函数是一个创新。我认为它有如下几个优点：一是使正余弦函数直接对应直角坐标系下一个点的横纵坐标更加清楚、简单，突出了三角函数的本质。有利于学生理解三角函数是函数的本质；二
10、是使三角函数反映的数形关系更加明了，为后续内容奠定基础。2、本节的重点和难点是对任意角三角函数定义的理解。一要阐述任意角三角函数定义来历，而要说明关系式是函数。在说明是函数上为了不让学生会被函数的概念搅昏，我提出了启发性的问题：给一个a值有一个点的坐标与之对应，所以它们是函数吗？比直接问他们是不是函数好判断多了。锐角三角函数与任意角三角函数的关系是由特殊到一般的关系，首先，要建立锐角三角函数放在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，再用终边与单位圆的交点的坐标表示。3、本节渗透数学思想方法、思维能力。通过单位圆来定义三角函数，渗透数形结合思想。同时在说明三角函数是函数上体现了函数与方程思想。由
11、锐角三角函数的坐标表示引到任意角的三角函数的坐标表示展示类比的思想。在探索四象限的三角函数的符号特征我采用探究式学习方式，锻炼了学生的独立思考的能力，也充分展现学生自学、探究学习的过程。4、数学概念教学。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。，三角函数的概念教学是本节难点，如果教师直接“告诉”学生什么是“任意角三角函数”，就会让学生处于茫然不知所日，在知识接受上有突兀感在教学中应遵循高中数学新课标的要求，加强概念的引入，引导学生经历从旧知抽象出数学概念的过程合理设置情境，使学生积极参与教学，了解知识发生发展的背景和过程，使学生感受到学习的乐
12、趣，为了总结出一个结论要建立任意角三角函数概念，角的概念先扩大，即任意角三角函数的概念是抽象度更高、包含范围更广的概念。产生与原认知结构不协调的方面是：要建立锐角三角函数的一个等价的表示过程，即放在直角坐标系下，用终边上点的坐标来表示，进一步用终边与单位圆的交点的坐标表示。以上是我对上这课的一点体会，总之无论上什么课对于教材都要认真钻研教材、挖掘教材中体现的新思维、新理念，又要根据学生实际情况创造性的使用教材，发挥教材应有的指导性的功效，教学设计既要重视“承上”，即与学生原有认知结构的联系，也要重视“启下”，即从后续知识发展的角度审视教学安排，这样才能使我们的教学日臻完美。一篇反思写下来，我感觉我对教育教学的感悟又加深了，所以在今后的教育教学中，我将会继续反思自己的每一节课，一步一步提高自己的教育教学水平。
