1、1生活中的变量关系2对函数的进一步认识2.1函数概念学 习 目 标核 心 素 养1通过实例，了解生活中的变量关系(易混点)2理解函数的概念及函数的三要素(重点)3会求一些简单函数的定义域和值域(重点、难点)4能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域(重点、难点)1通过学习函数的概念，提升数学抽象素养2通过求一些简单函数的定义域和值域，培养数学运算素养.1生活中的变量关系阅读教材P23P25内容，完成下列问题并非有依赖关系的两个变量都有函数关系只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间具有函数关系2函数的概念阅读教材P26P27“值域是s|s0”之间
2、的部分，完成下列问题(1)定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数(2)记法f：AB，或yf(x)，xA.(3)名称x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域集合y|yf(x)，xA叫作函数的值域，称y是x的函数思考：函数yx21(xR)与函数yt21(tR)是同一函数吗？提示是同一函数，这两个函数定义域相同，对应关系也相同因此，这两个函数是同一函数3区间的概念阅读教材P27从“研究函数常常用到区间的概念”“例1”以上内容，完成下列问题(1)区间的定义条件：aax|xax|x
3、a符号a，)(a，)(，a(，a)几何表示1下列等式中，y不是x的函数关系的是()Ay2xByCyx25Dy2x25D选项A、B、C符合函数定义对于选项D，当x0时，y.故y不是x的函数2函数y的定义域为()Ax|x1Bx|x0Cx|x1，或x0Dx|0x1D依题意，得解得0x1.3集合x|x0，且x1用区间表示为_答案0,1)(1，)4若函数f(x)2x23x5，则f(2)_.9f(2)2223259.生活中的变量关系及判断【例1】下列两个变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系？(1)圆的面积与其半径之间的关系；(2)家庭收入与消费支出之间的关系；(3)人的身高与视力之间的关系；(4)
4、价格不变的情况下，商品销售额和销售量之间的关系思路探究当一个变量随着另一个变量的变化而变化时，这两个变量之间存在依赖关系；存在依赖关系的两个变量，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，这两个变量具有函数关系解(1)圆的面积随圆的半径的变化而变化，所以圆的面积与其半径之间存在依赖关系，又因为对每一个半径的值，都有唯一的圆的面积与之对应，故圆的面积是半径的函数(2)消费支出随家庭收入的变化而变化，消费支出与家庭收入之间存在依赖关系，但消费支出还要受到其他因素的影响，二者之间不是函数关系(3)人的身高与视力之间不存在依赖关系(4)价格不变的情况下，商品销售额随销售量的变化而变
5、化，二者存在依赖关系，且商品销售额是销售量的函数综上可知，(1)(4)中的变量存在依赖关系，且是函数关系；(2)中的变量存在依赖关系，不是函数关系；(3)中的变量不存在依赖关系1判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化2判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应1下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？正方形的面积和它的边长之间的关系；姚明罚球次数与进球次数之间的关系；施肥量与作物产量之间的关系；汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的
6、关系解中两个变量都存在依赖关系，其中是函数关系，不是函数关系函数的概念【例2】(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A0B1C2D3(2)下图中能表示函数关系的是_(1)B(2)(1)中，因为在集合M中，当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一确定的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是故选B.(2)由于中的2与1和3同时对应，故不是函数(1)判断所给对应是否为函数的方法先观察两个数集A，B是否非空.验证对应关系
7、下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性.(2)根据图形判断对应是否为函数的步骤任取一条垂直于x轴的直线l.在定义域内平行移动直线l.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.2下列各式是否表示y是x的函数关系？如果是，写出这个函数的解析式；若不是，请说明原因(1)5x2y1(xR)；(2)xy3(x0)；(3)x2y21(x(1,0)；(4)x3y31(xR)解(1)5x2y1(xR)是函数关系，解析式为yx；(2)xy3(x0)是函数关系，解析式为y(x0)；(3)x2y21(x(1,0)不是函数关系，因对于x(1,0)的任意一个值，
8、对应的y值有两个；(4)x3y31(xR)是函数关系，解析式为y.相同函数的判断【例3】下列各组函数是否表示同一个函数？(1)f(x)2x1与g(x)；(2)f(x)与g(x)x1；(3)f(x)|x1|与g(x)(4)f(n)2n1与g(n)2n1(nZ)；(5)f(x)x22x与g(t)t22t.思路探究根据解析式判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的步骤是：先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相同，如果定义域相同，再执行下一步；化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相同，否则它们不相同解(1)g(x)|2x1|，f(x)与g(x)的对应
9、关系不同，因此是不同的函数(2)f(x)x1(x0)，f(x)与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数(3)f(x)f(x)与g(x)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数(4)f(n)与g(n)的对应关系不同，因此是不同的函数(5)f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字母表示，仍为同一函数函数概念含有三个要素，即定义域A，值域C和对应关系f，其中核心是对应关系f，它是函数关系的本质特征只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也不同(2)对应关系不同，两个函数也是不同的(3)即使定义域和值域都分别相同
10、的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系3下列每组中两个函数是同一函数的组数为_f(x)x21和f(v)v21；y和y；yx和y.中对应法则相同，定义域相同，只是表示自变量的字母不同，所以是同一函数中定义域相同，化简后对应法则相同，所以是同一函数化简后对应法则相同，定义域也都是R，所以是同一函数求函数的定义域【例4】求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.思路探究求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可通过列不等式或不等式组求解解(1)依题意解得1x1.所以，函数y的定义域为1,1(2)依题意，解得x1，且x0，且x1.所以，函
11、数y的定义域为(，1)(1,0)(0,11当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值范围(1)偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况2注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示4函数y的定义域是()Ax|x1Bx|x0Cx|x0，或x1Dx|0x1A依题意1x0，解得x1.所以，函数y的定义域为x|x11对函数概念的三点理解(1)函数必须是建立在非空数集上的一个概念若自变量的取值为空集，则这时函数是不存在的(2)根据函数的概念，两个变量之间是否具有函
12、数关系需要检验：定义域和对应法则是否给出；在对应法则之下每一个x是否只与唯一的y对应(3)由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，这样确定一个函数就只需要函数的定义域和对应法则，从而判定两个函数是否为同一个函数只需看其定义域和对应法则是否相同即可2对函数符号yf(x)的理解在这个函数符号yf(x)中，x是自变量，f表示的是对应法则，它可以看作是对x施行的某种运算法则，可以是一个代数式，也可以是一个表格，还可以是一个图像3区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“”(正无穷大)、“”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来
13、表示的部分实数组成的集合如x|axb(a，b，x|xb(，b是数集描述法的变式1思考辨析(1)数学成绩与物理成绩的关系是函数关系()(2)根据函数的定义，定义域中的多个x可以对应同一个y值()(3)在函数f：AB中，值域即集合B.()答案(1)(2)(3)2已知f(x)x21，则ff(1)_.5f(1)(1)212，ff(1)f(2)2215.3函数y的定义域是_x|x1由x210，得x1.所以函数y的定义域为x|x14已知函数f(x).(1)求f(2)和ff(2)；(2)若f(x)，求x；(3)求函数f(x)的值域解(1)f(2)，ff(2)f.(2)由f(x)，得，x23，x.(3)f(x)1.x211，20，111.函数f(x)的值域为1,1)
