1、专题五 立体几何 解题必备 解题方略 限时规范训练 走进高考 考点二 空间中的平行与垂直 1经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(唯一性)2如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行(线面线线)3三个平面两两垂直，其交线也两两垂直(面面线线)4两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面(线线线面)5一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，则该直线垂直于另一个平面(面面线面)6两个相交平面都垂直第三个平面，则交线也垂直于第三个平面(面面线面)7垂直于同一条直线的两个平面平行(线面面面)8一个平面及该平面外的一条直线都垂直于第二个平面，则直线与该平面平行(面面线
2、面)(反之也成立)9平行关系及垂直关系的转化小题速解不拘一格 优化方法类型一 空间线面位置关系的判断典例 1(1)已知 m，n 为异面直线，m平面，n平面.直线 l 满足 lm，ln，l，l，则()A 且 lB 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 lD解析：通解：若，则 mn，这与 m、n 为异面直线矛盾，所以 A 不正确将已知条件转化到正方体中，易知 与 不一定垂直，但 与 的交线一定平行于 l，从而排除 B、C.故选 D.优解：构造图形如图所示，知 D 项正确(2)已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，n，则
3、 mnC若 m，mn，则 nD若 m，mn，则 nB解析：通解：对 A，m，n 还可能异面、相交，故 A 不正确；对 B，由线面垂直的定义可知正确；对 C，n 还可能在平面 内，故 C 不正确；对 D，n 还可能在 内，故 D 不正确优解：在正方体中，找出相应的 m、n 与面之间的关系，可知B 正确母题变式1如本例(2)改为设 m，n 是空间两条直线，是空间两个平面，则下列命题中不正确的是()A当 n 时，“n”是“”的充要条件B当 m 时，“m”是“”的充分不必要条件C当 m 时，“n”是“mn”的必要不充分条件D当 m 时，“n”是“mn”的充分不必要条件C解析：选 C.C 中，当 m 时
4、，若 n，则直线 m，n 可能平行，可能异面；若 mn，则 n 或 n，所以“n”是“mn”的既不充分也不必要条件，故 C 项不正确空间线面位置的判定方法1借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断2借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定3借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断自我挑战1.m、n 是空间中两条不同直线，、是两个不同平面，下面有四个命题：m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.其中，所有真命题的序号是_解析：中，由 n，
5、得 n 或 n，又 m，mn，故正确；中，也可能 n，故错误；中，直线 n 也可能与平面 斜交或平行，也可能在平面 内，故错；中，由 mn，m，可得 n，又 可得 n，故正确答案：大题规范学会踩点 规范解答类型二 空间平行、垂直关系的证明典例 2(2015高考全国卷)(本小题满分 12 分)如图，四边形 ABCD 为菱形，点 G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED.(2)若ABC120，AEEC，三棱锥 E-ACD 的体积为 63，求该三棱锥的侧面积规范解答：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.2 分 得分点因为 BE平面
6、 ABCD，AC平面 ABCD，所以 ACBE，又 BDBEB，故 AC平面 BED.4 分 得分点又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.6 分 得分点(2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120，可得 AGGC 32 x，GBGDx2.因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EG12AC 32 x.由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BEEG2GB2 22 x.8 分 得分点由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积VE-ACD1312ACGD BE 624x3 63.故 x2.10 分 得分点从而可得 AEECED AB2BE2 222 6.所以
7、SEAC12AEEC12 6 63，EAD 的面积与ECD 的面积相等在AED 中，作 EFAD 于 F，由 AEED 知 F 为 AD 的中点，EFAE2AD22 61 5SEAD12ADEF122 5 5.故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 32 5.12 分 得分点评分细则及说明：用了菱形性质，两对角线互相垂直，得 2 分利用线面垂直的性质定理和判定定理得出 AC平面 BED，得 2 分利用面面垂直的判定定理得出结论，得 2 分利用平面几何知识求得各线段的长，得 2 分利用三棱锥体积公式求出 x2，得 2 分求出侧面积，得 2 分证明线线平行与线线垂直的方法1证明线线平行常用的方法：一是利
8、用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换2证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.自我挑战2.(2017江南十校联考)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，且 BC2AD，ADCD，PBCD，点 E 在棱 PD 上，且 PE2ED.(1)求证：平面 PCD平面 PBC；(2)求证：PB平面 AEC.证明：(1)因为 ADCD，ADBC，所以 CDBC，又
9、PBCD，PBBCB，PB平面 PBC，BC平面 PBC，所以 CD平面 PBC，又 CD平面 PCD，所以平面 PCD平面 PBC.(2)连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE.因为 ADBC，所以ADOCBO，所以 DOOBADBC12，又 PE2ED，所以 OEPB.又 OE平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.类型三 立体几何中的折叠、探索问题典例 3(2017山东济南模拟)如图(1)，在 RtABC 中，C90，BC3，AC6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE2.将ADE 沿 DE 折起到ADE 的位置，使 ACCD，如图(2)(1)求证：
10、DE平面 ABC；(2)求证：ACBE；(3)线段 AD 上是否存在点 F，使平面 CFE平面 ADE？若存在，求出 DF 的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为 D，E 分别为 AC，AB 上的点，且 DEBC，又因为 DE平面 ABC，所以 DE平面 ABC.(2)证明：因为C90，DEBC，所以 DECD，由题意可知，DEAD，又 ADCDD，所以 DE平面 ACD，所以 BC平面 ACD，所以 BCAC，又 ACCD，且 CDBCC，所以 AC平面 BCDE，又 BE平面 BCDE，所以 ACBE.(3)线段 AD 上存在点 F，使平面 CFE平面 ADE.理由如下：因为 AC
11、CD，所以，在 RtACD 中，过点C 作 CFAD 于 F，由(2)可知，DE平面 ACD，又 CF平面 ACD，所以 DECF，又 ADDED，所以 CF平面ADE.因为 CF平面 CEF，所以平面 CFE平面 ADE，故线段 AD 上存在点 F，使平面 CFE平面 ADE.如图(1)，因为 DEBC，所以DEBCADAC，即23AD6，所以 AD4，CD2，如图(2)，在 RtACD 中，AD4，CD2，所以ADC60，在 RtCFD 中，DF1.母题变式本例的条件不变，在线段 BE 上是否存在点 H，使平面 ABE平面 ACH?解：理由如下：在直角梯形 BCDE 中如图(1)DE2，B
12、C3，AC6.DC2，BE 5，在 RtCDE 中 CE 8，在 BCE中，由 余 弦 定 理 得cos B BC2BE2CE22BCBE 95823 5 55，过点 C 作 CHBE 于 H 点，BHBCcos B3 55 3 55，由典例 3(2)的解答知，AC平面 BCDE，BEAC 又 BECH 即 BE平面 ACH.故平面 ABE平面 ACH.综上，线段 BE 上存在点 H，使平面 ABE平面 ACH.自我挑战3.已知 RtABC 中，AB3，BC4，ABC90，AE2EB，AF2FC，将AEF 沿 EF 折起，使 A 变到 A，使平面 AEF平面 EFCB.(1)试在线段 AC 上
13、确定一点 H，使 FH平面 ABE.(2)试求三棱锥 A-EBC 的外接球的半径与三棱锥 A-EBC 的表面积解：(1)AB3，BC4，ABC90，AF2FC，所以 EF23BC83，在 AC 上取点 H，使 AH2HC，连接 HF，再在 AB上取点 K，使 AK2KB，连接 HK，EK，可知，KHBC，且KH23BC，可知 KHEF，且 KHEF，所以四边形 EFHK 为平行四边形，FHEK，EK平面 AEB，FH平面 AEB，所以 FH平面 AEB，故 H 点为 AC 的靠近 C 点的三等分点(2)由题意可知，AE平面 EFCB，BC4，EB1，AE2，AB AE2BE2 2212 5，设
14、三棱锥 A-EBC的外接球半径为 R，可知(2R)2AE2BE2BC2，(2R)2414221，所以 R 212.三棱锥 A-EBC 的表面积为 SSABCSABESBECSAEC124 512121241122 173 172 5.1(2017高考全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是()A解析：选 A.A 项，作如图所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QDAB.QD平面 MNQQ，QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交B 项，作如图所示的辅助线，则
15、ABCD，CDMQ，ABMQ，又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.C 项，作如图所示的辅助线，则 ABCD，CDMQ，ABMQ 又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.D 项，作如图所示的辅助线，则 ABCD，CDNQ，ABNQ，又 AB平面 MNQ，NQ平面 MNQ，AB平面 MNQ.故选 A.2(2016高考浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则()Aml BmnCnlDmn解析：选 C.l，l.n，nl.故选 C.C3(2017高考全国卷)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ADCD.(1)证明：AC
16、BD；(2)已知ACD 是直角三角形，ABBD.若 E 为棱 BD 上与 D不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比解：(1)证明：如图，取 AC 中点 O，连 OD，OBADCD，O 为 AC 中点，ACOD，又ABC 是等边三角形，ACOB，又OBODO，AC平面 OBD，BD平面 OBD，ACBD.(2)设 ADCD2，AC2 2，ABBC2 2，又ABBD，BD2 2，ABDCBD，AEEC，又AEEC，AC2 2，AEEC2，在 ABD 中，设 DE x，根 据 余 弦 定 理 cos ADB AD2BD2AB22ADBDAD2DE2AE22ADDE222 222 22222 222x22222x.解得 x 2，点 E 是 BD 的中点，则 VD-ACEVE-ACE，VD-ACEVB-ACE11.点击进入word版：限时规范训练把握高考微点，实现素能提升
