1、1 走近数学建模 教材要点要点 一笔画定理一个由点和线段组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：(1)图形是连在一起的，即是连通图形；(2)图形中的奇点个数是 0 或 2.状元随笔 (1)可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关也就是说，凡是图形中没有奇点的(奇点个数为 0)，可选任一个点为起点，且一笔画后可以回到出发点(2)若奇点个数为 2，可选其中一个奇点为起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点(3)凡是图形中有 2 个以上奇点的，不能完成一笔画(4)含有 2n(n0)个奇点的图形，需要 n 笔画成基础自测1完成下表奇点个数偶点个数能否一笔画出_04否05能
2、22能2.图中的线段代表一条条小路，有 A，B 两只蚂蚁，想一想，能够不重复爬遍小路的是 A 蚂蚁还是 B 蚂蚁？解析：标点：标出双数点和单数点；判断：有 2 个单数点可以一次走过，但是只能从一个单数点开始，到另一个单数点结束，所以只有 B 处的蚂蚁才可以题型一 一笔画定理及应用自主完成1一个居民小区平面如图，邮递员能否从东、南、西、北四个入口中的任何一个口进入，不重复而走遍大街小巷呢？解析：图形可作如下处理：由图可知，有 2 个单数点，所以从一个单数点进另一个单数点出即从西(北)进，从北(西)出2.甲、乙两个快递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从 A 点出发，乙从 B 点
3、出发，最后都回到邮局(C 点)如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？解析：由图看出，只有 A，C 两个奇点，根据一笔画定理，甲从 A 出发，可以不重复地一次走完所有街道，而乙从 B 出发走完所有街道回到 C 点必须重复一段街道，故甲先回到邮局方法归纳(1)熟悉一笔画定理(2)一笔画定理中，若没有奇点，任意一点都可以同时作为起点和终点，若有 2 个奇点，一个为起点，另一个一定是终点题型二 与图有关的模型师生共研例 1 与哥尼斯堡七桥问题同样著名的是十二面体游戏(或“周游世界”)图 1 表示一个正多面体它的表面由 12 个正五边形所构成，称为正十二面体若把它的顶点看作是一个图的顶点，则我们可以用图
4、2 中的图来表示它设想图的 20 个顶点代表 20 个城市，用十二面体的棱代表城市间的道路，那么你能不能游遍每个城市一次而且仅一次，并最终回到出发城市？(1)找出“周游世界”的一条线路；(2)给定图 G，若存在一条路线经过图 G 的每个顶点一次且仅一次，这条路称作哈密尔顿路若存在一条闭合路径过图 G 的每个顶点一次且仅一次，这条路被称作哈密尔顿回路试判断图 3 和图4 中是否存在哈密尔顿路与哈密尔顿回路如果存在，请找出它们；如果不存在，请说明理由解析：(1)如图所示，用数字表示所游城市的顺序，一条完整的路线如下(2)图 3 和图 4 中均存在哈密尔顿路，它们的路线如下图所示但是它们都不存在哈密
5、尔顿回路理由如下：假设存在一条完整的回路经过图中的顶点一次且仅一次，若删去其中的 k 个顶点及和它相关联的边，产生的分支应不多于 k 个若删去图 3 中的点 p 将产生两个分支，因而一条闭合的依次经过全部顶点的路线应是不存在的同理，图 4 也不存在方法归纳 哥尼斯堡七桥问题和十二面体游戏都是利用图模型的例子，把“位置”抽象成“顶点”，把“路线”抽象成“顶点的连线”，进而利用图的性质加以解决这两个经典问题在图论这一数学分支中有详细的阐述，本节主要通过它们来介绍这种思想方法跟踪训练 1 国际象棋中马的行走方式为“日”字形的对角线，如图 1 中虚线所示问能否以一马的跳步完全覆盖图 2 的“棋盘”，使
6、接触每个方格恰一次？(允许从任一方格出发)解析：问题是要确定图 2 是否有一条哈密尔顿路把图重画，使顶点的布置更清楚删去次数为 2 的顶点 a(棋盘的角)以及 4 个顶点 b以获得两个回路(见图 3)；以 c 与 d 分别标记此两回路的顶点，再把此两回路画成不相交的(见图 4)每个顶点 b 邻接于一顶点 c 与一顶点 d，删去 4 个顶点 b 产生一个具有 6 个分支的图：两个不同的回路(分别以c 与 d 为顶点)以及 4 个标号为 a 的顶点于是可知原图中一条依次经过全部顶点的路线应是不存在的，即没有哈密尔顿路所以，图 2 的棋盘不能像问题规定的那样为一马所跳遍题型三 利用比例关系建模师生共
7、研例 2 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温研究表明，消耗的能量 E 与通过心脏的血流量 Q 成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比，血流量 Q 是单位时间流过的血量，脉博率 f 是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量 q 与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比下表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据表 一些动物的体重和脉搏率动物名体重/g脉搏率/(心跳次数min1)鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2 000205小狗5 000120大狗30 00085羊50 00070马45
8、0 00038 回答下面的问题：(1)请根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型；(2)从表可以看出，体重越轻的动物脉搏率越高请根据上面所提供的数据寻求数量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型解析：建模过程如下：(1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量 E 与身体的表面积 S 成正比，可以表示为 Ep1S.又因为动物体内消耗的能量 E 与通过心脏的血流量 Q 成正比，可以表示为 Ep2Q因此得到 QpS，其中 p1，p2 和 p 均为正的比例系数另一方面，因为体积 V 与体重 W 成正比，可以表示
9、为 Vr1W；又因为表面积S 大约与体积 V 的23次方成正比可以表示为 Sr2V23，因此得到 SrW23，其中 r1，r2，r 为正的比例系数所以可以构建血流量与体重关系的数学模型 Qk1W23，其中 k1 为正的比例系数(2)根据脉搏率的定义 fQq，再根据生物学假设 qcW(c 为正的比例系数)，最后得到 fQqk1W23cW，也就是 fkW1-3，其中 k 为正的待定系数脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的13次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系，如图是以 ln W和 ln f 为坐标的散点图可以看出，数据取对数之后基本满足线性关
10、系，因此得到体重和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型表达为 ln fln kln W3.状元随笔 本例利用变量之间的比例关系进行推导建立了血流量与体重关系、脉搏率与体重关系的数学模型，有些是题目给出的，如消耗能量 E 与通过心脏的血流量 Q 成正比，还有的是我们的假设，如表面积 S 大约与体积 V 的23次方成正比实际问题中变量之间的关系是复杂的需要我们根据常识作出合理假设跟踪训练 2 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到 8 条鱼的如下数据：(胸围指鱼身
11、的最大周长)身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸围(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析建立模型，再用数据确定参数解析：对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量 w 与身长 l 的立方成正比，即 wk1l3，k1 为比例系数常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是 wk2d2l，k2 为比例系数利用数据估计模型中的系数可得 k10.014，k20.032 2.
