1、专题七计数原理与概率第1讲计数原理1. -40【解析】因为Tr+1=(2x2)5-r=25-rx10-2r(-1)rx-r=25-r(-1)rx10-3r,令10-3r=1,得r=3,所以x的系数为25-3(-1)3=-40.2. 24【解析】两名女生站一起有种站法,她们与两个男生站一起共有种站法,老师站在他们的中间有=24种站法.3. 6【解析】(x+y)2m的展开式中二项式系数的最大值为,所以a=.同理,b=.因为13a=7b,所以13=7,所以13=7,所以m=6.4. 252【解析】0,1,2,9共能组成91010=900个三位数,其中无重复数字的三位数有998=648个,所以有重复数
2、字的三位数有900-648=252个.5. 40【解析】因为展开式中各项系数和为2,所以取x=1得(1+a)(2-1)5=2,所以a=1.二项式即为,它的展开式的常数项为x(2x)2+(2x)3=40.6. 【解析】含x4的项为x5=a3x4,所以a3=7,所以a=.7. 70【解析】第一步,先选3个人,即=35;第二步,3个人相互调整座位,有2种方法.所以共有352=70(种).8. 210【解析】由已知得,二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等,故展开式中共有11项,从而n=10,所以Tk+1=x3(10-k)=x30-5k.令30-5k=0,得k=6,则所求常数项为=210.9. 先在
3、四位数的后三位中选两个位置填写数字0有种方法,再排另两张卡片有种方法.又数字9可作6用,所以四张卡片组成不同的四位数有2=12个.10. (1) 一个球一个球地放到盒子里,每个球都可有4种独立的放法.由分步乘法计数原理,放法共有44=256种.(2) 为保证“恰有一个盒子不放球”,将4个球分为2,1,1三组,有种分法;然后再从4个盒子中选3个把三组球排进去即可.由分步乘法计数原理,共有=144种放法.11. (1) f4(x)-f4(-x)=(1+x)4-(1-x)4=8x+8x3.(2) 由h(x)=(1+x)3+ (1+x)4+(1+x)10,所以h(x)中含x3项的系数为:+ +=+=3
4、30.令x=2,得a0=3n;令x=3,得a0+a1+ a2+an=4n,所以Sn=4n-3n,所以比较4n-3n与3n+n2的大小,即比较4n与23n+n2的大小.当n=1时,41=4,231+12=7,有4n23n+n2;当n=2时,42=16,232+22=22,有4n23n+n2;当n=4时,44=256,234+42=178,有4n23n+n2.猜想:当n3且nN*时,4n23n+n2.下面用数学归纳法证明: 当n=3时,显然成立; 假设当n=k(k3)时,不等式成立,即4k23k +k2;则当n=k+1时,4k+1-23k+1+(k+1)2=44k-63k -k2-2k-1=3(4k-23k-k2)+4k+2k2-2k-164+2k2-2k-1=2+630.故当n=k+1时,4k+123k+1 +(k+1)2.所以当n3且nN*时,4n23n+n2.
