1、3.3.2函数的极值与导数课时目标1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)1若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧_，右侧_类似地，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧_，右侧_我们把点a叫做函数yf(x)的_，f(a)叫做函数yf(x)的_；点b叫做函数yf(x)的_，f(b)叫做函数yf(x)的_极小值点、极大值点统称为_，极大值和极小值统称为_极值反映了函数在_的大小情况，
2、刻画的是函数的_性质2函数的极值点是_的点，导数为零的点_(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点3一般地，求可导函数f(x)的极值的方法是：解方程f(x)0.当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是_；(2)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是_；(3)如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)_一、选择题1. 函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点2已知函数f(x)，xR，且在x1处，f(x
3、)存在极小值，则()A当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0C当x(，1)时，f(x)0D当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0时有()A极小值B极大值C既有极大值又有极小值D极值不存在4函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个 B2个 C3个 D4个5函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则()A0b1 Bb0 Db6已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2 B3a2Ca2 Da6
4、题号123456答案二、填空题7若函数f(x)在x1处取极值，则a_.8函数f(x)ax3bx在x1处有极值2，则a、b的值分别为_、_.9函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_三、解答题10求下列函数的极值(1)f(x)x312x；(2)f(x)xex.11设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围能力提升12已知函数f(x)(xa)2(xb)(a，bR，ab)(1)当a1，b2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)设x1，x2是f(
5、x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.1求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号2极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题33.2函数的极值与导数答案知识梳理1f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0极大值(2)f(x)0极小值(3)不是极值作业设计1C2Cf(x)在x1处存在极小值，x1时，f(x)1时，f(x)0.3Af(x)1，由f(x)0，得x1或x0，x1.由得0x1，即在
6、(0,1)内f(x)0，f(x)在(0，)上有极小值4Af(x)的极小值点左边有f(x)0，因此由f(x)的图象知只有1个极小值点5Af(x)3x23b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则，即，解得0b0时，图象与x轴的左交点两侧f(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f(x)的值分别小于零、大于零所以才会有极大值和极小值4a212(a6)0得a6或a0)，f(x)0时得：xa或xa，f(x)0时，得ax.10解(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，
7、)f(x)00f(x)极大值极小值从表中可以看出，当x2时，函数f(x)有极大值，且f(2)(2)312(2)16；当x2时，函数f(x)有极小值，且f(2)2312216.(2)f(x)(1x)ex.令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)极大值函数f(x)在x1处取得极大值f(1)，且f(1).11解(1)f(x)3x29x6.因为x(，)，f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0，解得m，即m的最大值为.(2)因为当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取极大值f(1)a；当x2时，f(x)取极小值f(2)2a，故当f(2)0或f(1)0时，f(x)0仅有一个实根解得a.12(1)解当a1，b2时，f(x)(x1)2(x2)，因为f(x)(x1)(3x5)，故f(2)1，又f(2)0，所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为yx2.(2)证明因为f(x)3(xa)(x)，由于ab，故a，所以f(x)的两个极值点为xa，x.不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f(x)的零点，故x3b.又因为a2(b)，x4(a)，此时a，b依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x4.
