1、第六章 不等式、推理与证明第六节 直接证明与间接证明设an是首项为 a，公差为 d 的等差数列(d0)，Sn 是其前n 项的和记 bn nSnn2c，nN*，其中 c 为实数若 c0，且 b1，b2，b4 成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)证明：由题意得，Snnan（n1）2d.由 c0，得 bnSnn an12 d.又因为 b1，b2，b4 成等比数列，所以 b22b1b4，即ad22aa32d，化简得 d22ad0，因为 d0，所以 d2a.因此，对于所有的 mN*，有 Smm2a.从而对于所有的 k，nN*，有 Snk(nk)2an2k2an2Sk.综合法是“由因导果”的证明
2、方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用(2015广东卷节选)设数列an的前 n 项和为 Sn，nN*.已知 a11，a232，a354，且当 n2 时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求 a4 的值；(2)证明：an112an 为等比数列(1)解：当 n2 时，4S45S28S3S1，即 413254a4 5132 813254 1，解得 a478.(2)证明：由 4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，得 4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即 4an2an4an1(n2)4a3a
3、1454164a2，4an2an4an1，an212an1an112an4an22an14an12an 4an1an2an14an12an 2an1an2（2an1an）12，数列an112an 是以 a212a11 为首项，12为公比的等比数列已知函数 f(x)tan x，x0，2，若 x1，x20，2，且 x1x2，求证：12f(x1)f(x2)fx1x22.证明：要证12f(x1f(x2)fx1x22，即证明12(tan x1tan x2)tanx1x22，只需证明12sin x1cos x1sin x2cos x2 tanx1x22，只需证明sin（x1x2）2cos x1cos x2
4、 sin（x1x2）1cos（x1x2）由于 x1，x20，2，故 x1x2(0，)cos x1cos x20，sin(x1x2)0，1cos(x1x2)0，故只需证明 1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证 1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证：cos(x1x2)fx1x22分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性 ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，
5、A，B，C 的对边分别为 a，b，c.求证：1ab 1bc3abc.证明：要证 1ab 1bc3abc，即证abcab abcbc 3 也就是cab abc1，只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证 c2a2acb2，又ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B60，由余弦定理，得 b2c2a22accos 60，即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2 成立 于是原等式成立设an是公比为 q 的等比数列(1)推导an的前 n 项和公式；(2)设 q1，证明数列an1不是等比数列解：(1)设an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Sna1a1a1na1；当 q1 时，Sna
6、1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sna1（1qn）1q，Snna1，q1，a1（1qn）1q，q1.(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的 kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾 假设不成立，故an1不是等比数列1当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等 2用反证法证明不等式要把握三点：（1）必须否定结论；（2）必须从否定结论进行推理；（3）推导出的矛盾必须是明显的 已知 a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一个方程有实根证明：假设三个方程都没有实数根，则（4a）24（4a3）0，（a1）24a20，（2a）24（2a）032a13或a1，2a0，32a1.这与已知 a1 矛盾，所以假设不成立，故原结论成立
