1、-1-2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数(二)本试卷共 4 页，23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答
2、题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数 z 满足 z2i(2i)i，则 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 Ax|x2x60，Bx|x1，则 AB A.(2，1)B.(，2)C.(，3)D.(2，3)3.已知 a134，blog23，clog3 15，则 A.acb B.cab C.bac D.ab的焦距为 43，直线 x8y170 与椭圆相交于 A，B 两点，若
3、点 Q(1，2)是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的短轴长为 A.2 B.4 C.6 D.8 11.已知函数 f(x)sin(x)(0，|的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过 F1 与 C 的左支和右支分别交于 A，B 两点，若 x 轴上存在点 Q 满足2QB3F A=，QBF2ABF2，则 C的渐近线方程为 。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 12 分)已知数列an满足 a18，an12an2。(1)求 a2，a3，a4，并证明an2是等比数列；(2)设 bnn2a2log3，求数列nn 11b b+的前 n 项和 Tn。18.(本小题满分 12
4、 分)已知在圆锥 PO 中，AC 为底面的直径，ACB30，M 为 BC 的中点。(1)求证：BCPM；(2)若 ACPO4，求平面 BPM 与平面 PCM 所成锐二面角的余弦值。19.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 P(2，2)，点 Q 在抛物线 C 上，且满足OFFQ2FP=(O 为坐标原点)。(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，直线 QA，QB 的斜率分别为 k1，k2，k1k28，求证：直线 l 恒过定点。20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)exax。-5-(1)当 a1 时，求 f(x)
5、在0，1上的最小值；(2)当 a0 时，求函数 g(x)sinxe2f(x)在(0，)上零点的个数。21.(本小题满分 12 分)某无缝钢管厂只生产甲。乙两种不同规格的钢管，根据长期的生产结果表明，两种规格钢管每根的长度 x(mm)都服从正态分布 N(，2)，长度在(3，3)之外的钢管为废品，要回炉熔化，不准流入市场，其他长度的钢管为正品。(1)在该钢管厂生产的钢管中随机抽取 10 根进行检测，求至少有 1 根为废品的概率；(2)钢管有内外两个口径，甲种钢管内外两口径的标准长度分别为 30mm 和 34mm，乙种钢管内外两个口径的标准长度分别为 60mm 和 65mm。监管部门规定每种规格钢管
6、的“口径误差”的计算方式为：若钢管的内外两个口径实际长分别为 a(mm)，b(mm)，标准长分别为a(mm)，b(mm)，则“口径误差”为|aa|bb|，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“口径误差”的范围分别是0，0.1，(0.1，0.2，(0.2，0.4(正品钢管中没有“口径误差”大于 0.4mm 的钢管)，现分别从甲。乙两种产品的正品中各随机抽取 100 根，分别进行“口径误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如下：已知经销商经销甲种钢管，其中“一级品”的利润率为 0.3，“二级品”的利润率为 0.18，“合格品”的利润率为 0.1；经销乙种钢管，其中“一级品”的利
7、润率为 0.25，“二级品”的利润率为 0.15，“合格品”的利润率为 0.08，若视频率为概率。若经销商对甲、乙两种钢管各进了 100 万元的货，X1 和 X2 分别表示经销甲、乙两种钢管所获得的利润，求 X1 和 X2 的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种钢管的利弊；若经销商计划对甲。乙两种钢管总共进 100 万元的货，则分别在甲、乙两种钢管上进货多少万元时，可使得所获利润的方差和最小？附：若随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，则 P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973，0.6827100.0220，0.9545100.6277，0.997310
8、0.9733。-6-请考生在第 22、23 题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2sin，直线 l 的极坐标方程为 sin(3)2，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系。(1)求圆 C 的直角坐标方程，并判断直线 l 与圆 C 的位置关系；(2)射线 OM：3(0)与圆 C 的交点为 O，A，与直线 l 的交点为 B，圆 C 的圆心为 C，求ABC 的面积。23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)|x1|2x4|。(1)画出函数 yf(x)的图象；(2)若关于 x 的不等式 f(x)xm 有解，求实数 m 的取值范围。-7-8-9-10-11-12-
